¿Puede representar un polinomio primitivo integral primer enteros a cualquier número?

Question

Que $m\in\mathbb N$ ser cualquier número natural y $f(X)=aX^2+bX+c$ un polinomio con coeficientes $a,b,c\in\mathbb Z$ tal que $gcd(a,b,c)=1$.

¿Hay un $R\in\mathbb Z$ por lo que $f(R)$ primer a $m$?

Intuitivamente, la respuesta parece claramente sí. Pero estoy teniendo un momento difícil probarlo. Seguro, si $gcd(c,m)=1$, podemos simplemente poner $R=0$. Mi idea sería considerar cualquier factor principal $p^\alpha$ $m$ y de alguna manera producir congruencias simultáneas tales que $f(R)\equiv 1 \mod p^\alpha$. Pero eso no funciona hacia fuera.

Answer 1

Como asnwered por tiburón, no es cierto en general. De hecho en solamente tiene problemas con el % de números $m$.

Lo que necesita primero es que para cualquier primera $p$divisoria $m$, existe un $x_p$ tal que $f(x_p) \ne 0 \pmod{p}$. Entonces a tomar el $R$ tal que $R \equiv x_p \pmod{p}$ para cualquier $p$divisoria $m$.

Se garantiza la existencia de tal $x_p$ si $p>2$, % desde un polinomio de grado $d\le 2$ a lo más tiene $d$ raíces. Pero para $p=2 $ y $f(X)\equiv X^2+X \pmod{2}$, no existe.