Convergencia de $\int_1^\infty e^{-\ln^2(x)}dx$.

Question

Estoy interesado en la convergencia de la integral: $$\int_1^\infty e^{-\ln^2(x)}dx$ $ he probado usando identidades algebraicas y algunas sustituciones que me llevan nada. Algunos ejemplos de lo que probé: $$\int_1^\infty e^{-\ln^2(x)}dx=\int_0^\infty e^{-t^2}e^{t}dt$ $ y $$\int_1^\infty e^{-\ln^2(x)}dx=\int_1^\infty e^{-\ln(x)\ln(x)}dx=\int_1^\infty \frac 1 x^{\ln(x)} dx.$ $

También intenté utilizar Cauchy convergencia prueba y error tener éxito. ¿Alguien me puede dar una pista?

Answer 1

Después de su primera aproximación, dejando a continuación $t=\ln(x)$ $x=e^t$, $dx=e^t dt$ y tenemos que $$\int_1^\infty e^{-\ln^2(x)}dx=\int_0^\infty e^{-t^2}e^{t}dt\leq \int_0^\infty e^{-t+1}dt=[-e^{-t+1}]_0^\infty=e$ $ porque $-t^2+t\leq -t+1$.

Answer 2

Tenemos para $x>e^2 \implies \ln x >2$

$$e^{-\ln^2(x)}=(e^{-\ln(x)})^{\ln x}=\left(\frac1x\right)^{\ln x}

Answer 3

FYI, esta integral se puede evaluar exactamente como %#% $ #%