Su conjetura es correcta para $k$ suficientemente grande y, casi seguramente, el único contraejemplo es el caso de la $k=4$ ya se ha señalado.
Esta desigualdad es increíblemente apretado: al final, todo se reduce al hecho de que $e/6 < 1/2$ y algunos muy afortunadas coincidencias en relación con la continuación de la fracción de $e$.
Ponemos a $n = \lfloor k/e \rfloor$. Tenemos
$$\left( \frac{k}{n} \right)^n < \left( \frac{k}{n+1} \right)^{n+1}$$
si y sólo si
$$(n+1)^{n+1}/n^n < k.$$
Vamos a establecer $c=(n+1)^{n+1}/n^n$.
Por otro lado, $\{ k/e \} > 1/2$ es equivalente a $k/e>n+1/2$ o $k>e(n+1/2)$. Por lo que su conjetura es
$$k> c \Longleftrightarrow k > e(n+1/2).$$
En otras palabras, si usted tenía un contraejemplo a tu conjetura, no sería un entero $k$$c$$e(n+1/2)$. Vamos a descartar esto.
Para este fin, necesito reemplazar a $c$ por algo más cómodo.
Yo reclamo que $e(n+1/2) > c>e (n+1/2-1/(23.9 (n+1/2)))$$n \geq 4$.
Esto es definitivamente cierto para $n$ lo suficientemente grande, como
$$c = n \exp((n+1) \log(1+1/n)) = n \exp((n+1) (1/n-1/(2n^2) + 1/(3 n^3)+O(1/n^4)))$$
$$= e(n+1/2-1/(24 n) + O(1/n^2))$$
También he comprobado por $4 \leq n \leq 100$. No he hecho el cuidadoso trabajo de averiguar la constante en la $O()$ a probar esto para todos los $n$, pero se puede si es necesario y, si me equivoco, solo se introduce un número finito de errores. (Aquí y en las siguientes, se debe pensar en los números como $23.9$ esencialmente como"$24$", pero me han puesto en un poco de chocolate para hacer las desigualdades verdadero desigualdades en lugar de asymptotics.)
Nuestro objetivo es mostrar que no hay soluciones a
$$e(n+1/2-1/(23.9 (n+1/2))) < k < e(n+1/2)$$
en números enteros, excepto para $k=4$ $n=1$ (como ya se ha señalado).
Ya podemos ver que, si hay soluciones, que son raros: usted necesita para obtener un intervalo de longitud de $1/(24 n)$ a contener un número entero. Vamos a ver realmente que no hay ninguna.
La aplicación de $x \mapsto e-x/(n+1/2)$ a cada término, esta ecuación es equivalente a:
$$\frac{e}{23.9 (n+1/2)^2} > e-\frac{2k}{2n+1} > 0$$
o
$$\frac{e}{5.975 (2n+1)^2} > e-\frac{2k}{2n+1} > 0 \quad (\ast).$$
Ahora nos recuerde un teorema sobre fracciones continuas (ver, por ejemplo, el Teorema de 184 en Hardy y Wright): Si $x$ es irracional e $p$ $q$ son enteros con
$$\left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{2 q^2}$$
a continuación, $p/q$ es convergente de $x$. Desde $e/5.975 < 1/2$, si tenemos una solución a$(\ast)$, $(2k)/(2n+1)$ sería convergente de $e$. (Desde convergents crecer exponencialmente rápido, esto ya demuestra que las soluciones a $(\ast)$ son muy raros.)
Aproximadamente, el resto de la prueba es la siguiente: Si nos fijamos en la convergents $p_i/q_i$ $e$ y calcular el $q_i^2 |e-p_i/q_i|$ verás que se está acercando a $1/2$ $i \equiv 1, 3 \bmod 3$ y el van a cero para $i \equiv 2 \bmod 3$. Desde $1/2 > e/5.975$, no esperamos ninguna solución en el primer caso. En el segundo caso, lo que ocurre es que $p_i/q_i$ es de la forma $\mbox{odd}/\mbox{odd}$, no $(2k)/(2n+1)$. El resto de la argumentación es la de llenar los detalles de este.
Recordemos las fórmulas básicas de la teoría de fracciones continuas: Si $x = a_0+1/(a_1+1/(a_2+1/(a_3 + \cdots))) =: [a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots]$ y el convergents de $x$ $p_1/q_1$, $p_2/q_2$, etcétera, de $p_{i+1} = a_i p_i +p_{i-1}$$q_{i+1} = a_i q_i + q_{i-1}$.
La continuación de la fracción de $e$ es conocido:
$$e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,\cdots].$$
A partir de ahora, $a_i$ indican la secuencia $2$, $1$, $2$, $1$, $1$, $4$, etcétera y $p_i/q_i$ indican la convergents, a partir de $p_1/q_1=2/1$, $p_2/q_2 = 3/1$, $p_3/q_3=8/3$, $p_4/q_4 = 11/4$, etcétera. (Tenga en cuenta que $8/3$ corresponde a $k=4$, $n=1$.)
A partir de las relaciones $p_{i+1} = a_i p_i +p_{i-1}$$q_{i+1} = a_i q_i + q_{i-1}$, comprobamos que la paridad de $(p_i, q_i)$ repite con período de $6$. Los términos de la forma $(2k)/(2n+1)$ es aparecer en las posiciones que se $1$ o $3$ modulo $6$, a partir de
$$2, \ 8/3,\ 106/39,\ 1264/465,\ 25946/9545,\ 517656/190435, \cdots$$
He comprobado el $4$ convergents después de $8/3$ explícitamente y no violar $(\ast)$, por lo que puedo suponer que estoy tratando con algunos de ellos bastante grandes números si hay contraejemplos.
Tenemos la alternancia de suma $\left| e-p_i/q_i \right| = 1/(q_i q_{i+1}) - 1/(q_{i+1} q_{i+2})+ \cdots$, por lo que, en particular, $\left| e-p_i/q_i \right| > 1/(q_i q_{i+1}) - 1/(q_{i+1} q_{i+2})$. En los casos que nos interesan, $e>p_i/q_i$, por lo que podemos dejar el valor absoluto.
Caso 1: $i=1 \bmod 6$, como $106/39$. Tenga en cuenta que los denominadores de los alrededores $39$ $7$, $32$, $39$, $71$, $495$.
$$\frac{1}{q_i q_{i+1}} - \frac{1}{q_{i+1} q_{i+2}} = \frac{1}{q_i (2 q_{i} - q_{i-2})} - \frac{1}{q_{i+1} q_{i+2}}.$$
Pero $q_{i-2}/q_i$ $q_i/q_{i+2} \to 0$ $i \to \infty$ mientras $1 \bmod 6$ (estas son las $7/39$ $39/495$ en el ejemplo), por lo que
$$q_i^2 \left( \frac{1}{q_i (2 q_{i} - q_{i-2})} - \frac{1} {q_{i+1} q_{i+2}} \right) \to 1/2.$$
Ya $i=13$ pasa más allá de $e/5.975$, por lo que no hay ninguna solución en este caso.
Caso 2: $i \equiv 3 \bmod 6$, como $1264/465$. Tenga en cuenta que los denominadores de los alrededores $465$ $71$, $465$, $536$, $1001$. En este caso, tenemos
$$\frac{1}{q_i q_{i+1}} - \frac{1}{q_{i+1} q_{i+2}} =\frac{1}{q_i q_{i+1}} - \frac{1}{q_{i+1}(q_i+ q_{i+1})} = \frac{1}{q_i (q_i+q_{i+1})} = \frac{1}{q_i (2 q_i + q_{i-1})}.$$
De nuevo, $q_{i-1}/q_{i} \to 0$ (esto es $71/465$ en el ejemplo) así que
$$q_i^2 \frac{1}{q_i (2 q_i + q_{i-1})} \to 1/2.$$
Tomando $i=9$ que ya se hace allá de $e/5.975$.
