¿Hay aplicaciones del mundo real de la medida de Lebesgue? Creo que Jordan es suficiente para resolver los problemas del mundo real.
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La respuesta a esto es raro: nunca tendrás que diferenciar entre Jordania medida y medida de Lebesgue cuando computacionalmente la solución de un determinado problema de la vida real, pero de forma coherente entender la manera en que funciona el mundo que, fundamentalmente, y a la inexorable necesidad de medida de Lebesgue.
Aplicaciones del mundo Real que el uso de la medida de Lebesgue muy rara vez se utilizan de forma visible. Desde un almacén de conjunto es medible Jordan , siempre que su límite tiene una medida de $0$, Lebesgue medida sólo es necesario medir muy patológico sets, y el tipo de funciones que son Lebesgue medible pero no medible Jordan no vienen a menudo en aplicaciones del mundo real. Además, dado que los equipos sólo pueden tomar un número finito de cálculos, la diferencia entre la aditividad finita y contables aditividad es inmaterial a un ordenador. Así que, desde una perspectiva computacional, los conceptos son los mismos.
Sin embargo, esto no implica que la medida de Lebesgue puede ser sustituido por Jordania medir la hora de pensar en el mundo real. Seguimiento de la razón por la que es un poco tedioso y a primera vista muy teórico, pero que vale la pena. Lebesgue medida tiene una serie de importantes teóricos de las características que Jordania medida no. Por ejemplo, el espacio de Jordania $p$integrable funciones en $[0,1]$ (o $\mathbb{R}$ o más espacios en blanco) no está completo en cualquiera de las $p$-normas definidas por $$||f||_p = \left(\int_{[0,1]} |f(x)|^pdx\right)^{1/p}.$$ To see this, consider the indicator of $[0,1] \cap \mathbb{Q}$, por ejemplo.
El más importante de estos espacios desde el punto de solicitudes es de $L^2([0,1])$, el espacio de Lebesgue medibles funciones con finito $2$-norma. La integridad de $L^2$ tiene profundas ramificaciones. Es el ingrediente clave en la fabricación de descomposición de funciones en series de Fourier de trabajo. Series de Fourier, a su vez, juegan un papel central en la física detrás de la modelización de la distribución de calor, olas, y un anfitrión de otros importantes fenómenos físicos. Sin la integridad de $L^2$, y, por tanto, sin medida de Lebesgue, nada de esto tiene sentido.
La integridad de $L^2$ también conduce a más de matemáticas que a su vez se encuentra una amplia gama de aplicaciones. Si usted realmente, realmente traza de la matemáticas, de la integridad de la $L^2$ es de entre una multitud de hechos que se sientan detrás del complejo de medir caso de la bellísima Representación de Riesz Teorema. De este teorema se encuentra abundante aplicaciones en la teoría de la probabilidad, y por lo tanto en el estudio de la aleatoriedad en el mundo real. También es clave a la prueba del teorema espectral operador de la teoría. El operador de la teoría es, a su vez, la fundación que nuestra comprensión moderna de la física cuántica está construido sobre.
Por lo tanto, nuestra comprensión moderna de muchos procesos físicos, la aleatoriedad y la física cuántica, todos confían profundamente en funciones matemáticas de Lebesgue medida que no son compartidas por Jordania medida. No ver claramente estas características a la hora de hacer la etapa final de los cálculos para resolver estos problemas, pero son inevitablemente detrás de las relaciones que permiten a los cálculos a realizar con Jordania medida para el trabajo.
Bob
Puntos
41
No en todos. Por ejemplo, obtener una función continua $f$ definido en $[-\pi,\pi]$ tal que $f(-\pi)=f(\pi)$ y realizar la descomposición de la $f$ en fundamental y los armónicos, es decir, tomar su transformada de Fourier $\hat{f}$. Ahora pregúntate a ti mismo ¿qué sucede si usted synthetize simétricamente estos armónicos, es decir, si usted consigue $$\sum_{n=-N}^N \hat{f}(n)e^{int},$$ and then try to take the limit as $N\rightarrow\infty$. Will this series (known as Fourier series of $f$) converge pointwise to $f$? If not, is it possible to describe the set where this series does not converge pointwise to $f$? Well, you can guarantee that the set of points where such a series converges pointwise to $f$ has a complement of Lebesgue measure zero. In a sense, this is the best result you can obtain in general, because you can prove that for each set of Lebesgue measure zero, there exists a function $f$ del tipo considerado por encima de cuya serie de Fourier diverge al menos en este conjunto (tal vez en algunos otros puntos).
Así que, volviendo a la tierra, obtener el conjunto $\mathcal{Q}$ de los puntos racionales en $[-\pi,\pi]$. Entonces, desde el $\mathcal{Q}$ tiene medida de Lebesgue $0$, existe una función continua $f$ definido en $[-\pi,\pi]$ tal que $f(-\pi)=f(\pi)$, cuya serie de Fourier diverge en menos de $\mathcal{Q}$. Sin embargo, sabemos que el conjunto donde la serie de Fourier de $f$ converge pointwise tiene un complemento, es decir $\mathcal{P}$, cuya medida de Lebesgue cero. A continuación, el conjunto donde $f$ diverge, es decir,$\mathcal{P}$, no cointain cualquier intervalo de tiempo (de lo contrario, la medida de Lebesgue de $\mathcal{P}$ es mayor que $0)$ y, a continuación, ha interno Jordania medida igual a $0$. Por otro lado, $\mathcal{P}$ ha exterior Jordania medida igual a $2\pi$, debido a que cada intervalo que cointains $\mathcal{P}$ también cointains $\mathcal{Q}$, y el único intervalo que contiene a $\mathcal{Q}$$[-\pi,\pi]$. Por lo $\mathcal{P}$ tiene diferentes interior de Jordania medir y exterior Jordania medir y por lo que no es medible Jordan.
En conclusión:
Existe una función continua definida en $[-\pi,\pi]$ que satisface $f(-\pi)=f(\pi)$, cuya serie de Fourier diverge, precisamente, en un conjunto que es Lebesgue medible pero no medible Jordan.
