Factorización de campo de anillos

Question

Los números primos son los números que son divisibles por exactamente dos números. Los campos son los anillos que tienen exactamente dos ideales. Por otra parte, el número de los ideales del producto de dos anillos es el producto del número de los ideales de ambos anillos. Una pregunta natural que uno puede por lo tanto pedimos es este:

Es cada anillo de un producto de los campos?

En general, la respuesta es no, por la siguiente razón: Obviamente, la característica de un producto de los anillos es el mínimo común múltiplo de las características de los factores. Por lo tanto, suena como $\mathbb Z / 4\mathbb Z$ no se puede lograr de esta manera. Por otra parte, la característica de cualquier anillo que es el producto de los campos que tendrá la forma $p_1 \cdots p_n$ (donde $p_1, \ldots, p_n$ son distintos de los números primos). Por otra parte, para no conmutativa anillos, vamos a tener que permitir los giros de los campos. Por lo tanto, la pregunta anterior se convierte en las siguientes dos preguntas:

• ¿Cuál es la clase de los anillos que es el producto de (inclinada)campos?
• Hay una descomposición de la arbitraria anillos en (inclinada)los campos (que no es necesariamente el producto)?

Answer 1

Un teorema general en esa dirección es la descomposición de la Artinian anillos:

Cada conmutativa Artinian anillo es isomorfo a un número finito producto directo de Artinian local anillos

Por otra parte,

Cada simple Artinian anillo es una matriz de anillo sobre un anillo de división

y así

Cada semisimple Artinian anillo es finito, producto de la matriz de anillos sobre la división de los anillos

Answer 2

No soy consciente de ninguna de largo alcance de la caracterización de los anillos en términos de campos (o división de los anillos.)

Quizás la estructura más fundamental teorema de saber en álgebra no conmutativa es que un semisimple Artinian anillo es finito, producto de la matriz de anillos sobre la división de los anillos.

A partir de esto se podría decir que la reducción (=no distinto de cero nilpotent elementos) semisimple Artinian anillos son exactamente finito productos de la división de los anillos.

Entonces uno podría preguntar acerca de los productos en general de la división de los anillos. La única cosa a lo largo de estas líneas que sé es que cada fuertemente regular anillo (=von Neumann regular y reducido) es un subdirect producto de la división de los anillos. (Subdirect productos son una generalización de los ordinarios de los productos).

Hasta este momento, no hemos considerado muy exótico anillos. semisimple Artinian y fuertemente regular anillos están entre los "buenos" de los anillos de allí. No hemos ido muy lejos en el desierto.

Partiendo de la división de los anillos, también es interesante pedir más general sobre los anillos. Creo que estoy recordando correctamente que conmutativa semiperfect anillos son exactamente los anillos que se descomponen en finito productos de los locales de los anillos. De forma análoga anterior, yo sé que hay un montón de trabajos que muestran que los anillos son de la matriz de anillos locales anillos de un tipo o de otro. Y de nuevo, podría ser interesante pedir que los anillos son subdirect productos de los locales de los anillos (conmutativa o de lo contrario.)

Answer 3

Hay mucho mejores razones que sólo la característica.

• Un producto de los campos siempre ha cero Jacobson radical; en particular, un anillo local no puede ser un producto de los campos menos en el campo.
• Un producto de (al menos dos) en los campos no es una integral de dominio.
• Un producto de los campos es conmutativa.

Sin embargo, cualquier anillo conmutativo $R$ con cero Jacobson radical es un subdirect producto de los campos, lo que significa que hay una familia $(F_i)_{i\in I}$ de los campos y un inyectiva homomorphism $$ f\colon R\a\prod_{i\in I}F_i $$ tal que $p_i\circ f$ es surjective para cada $i\in I$. Con $p_i$ I denota la proyección desde el producto a la $i$-ésimo factor.

Esto es esencialmente trivial, sin embargo: vamos a $(M_i)_{i\in I}$ ser parte de la familia de los máximos ideales de la $R$ y definen $F_i=R/M_i$. Entonces $$ f(r)=(r+M_i)_{i\in I} $$