¿La medida de Lebesgue en $\mathbf{R}^{n}$ requiere equipar el espacio con la métrica euclidiana?

Question

En mi mente, $\mathbf{R}^{n}$ puede parecer muy diferentes en el espacio Euclidiano como un espacio métrico, dependiendo de la métrica que vamos a elegir para imponer en él. Supongamos que tenemos una métrica que da la longitud de la unidad de intervalo en $\mathbf{R}^{n}$$\pi$. Entonces, en este espacio de la medida de Lebesgue de la unidad de intervalo no está de acuerdo con la longitud dada por este nuevo sistema. Así pues, parece ser (al menos para mí) que a la hora de definir la medida de Lebesgue en $\mathbf{R}^{n}$, el cual consiste en darle a la unidad de intervalo de medida $1$, secretamente nos suponga que estamos hablando de $\mathbf{R}^{n}$ como el espacio Euclidiano.

Pero cuando miro la definición completa de la medida de Lebesgue, la métrica nunca es mencionado. Sólo el conjunto de la teoría de la estructura de subconjuntos de a $\mathbf{R}^{n}$ es hablado.

En otras palabras, sólo quiero encontrar es razonable que el conjunto $[0,1]^{p}$ ser llamado a la unidad de $p$-cubo si la métrica en $\mathbf{R}^{n}$ es la Euclídea. Pero la medida de Lebesgue es agnóstico acerca de la métrica...

Origen de la pregunta

Estoy tratando de considerar cuidadosamente cuáles son los conceptos que en el cálculo multivariable dependen de la Euclídea, y los que no. Por ejemplo, el cálculo diferencial implica sólo el afín y estructura topológica de $\mathbf{R}^{n}$, y puede ser modificado en más general de espacios con estas propiedades (espacio de Banach). Cálculo vectorial depende en gran medida de la dimensión especial $n=3$, la orientación y la métrica.

Pero, ¿qué acerca de la integración? Por ejemplo, hacer el ordinario múltiples integrales implican la métrica de alguna manera? Esta pregunta me llevó a la más general de la medida de Lebesgue, por lo tanto esta pregunta.

Answer 1

Creo que lo que estamos buscando es el siguiente.

Si $V$ es un finito dimensional espacio vectorial de dimensión $n$ sobre los números reales, hay una forma canónica para definir la medida de Lebesgue?

La respuesta es no. De hecho, se puede definir la medida de Lebesgue sólo después de que usted haya elegido una base $\{e_1,...,e_n\}$ $V$ que le da un isomorfismo con $\mathbb{R}^n$. Sin embargo, las diferentes opciones de la base de diferentes medidas en $V$, que difiere por $|\det(A)|$ donde $A$ es el cambio de base de la matriz.

Sin embargo, lo que si añadimos una norma $\|\|$ $V$ y necesitamos que la base elegimos para definir la medida de Lebesgue en $V$ tiene la propiedad de que $\| e_1 \|=1,...,\| e_n \|=1$?

La respuesta es que no es nuevo. De hecho, no existe norma en $V$, y existen dos bases de $\{e_1,...,e_n\}$ $\{f_1,...,f_n\}$ que satisfacen dicha propiedad y son tales como el cambio de base de la matriz de $A$ es tal que $|\det(A)|\neq 1$

Sin embargo, lo que si bien la norma proviene de un producto interior $\langle, \rangle$ y necesitamos que la base elegimos para definir la medida de Lebesgue en $V$ es ortonormales?

Ahora la respuesta es sí. De hecho, dadas dos bases ortonormales de $(V,\langle, \rangle)$, el cambio de base de la matriz tiene la propiedad de que $|\det(A)|=1$, por lo que, cogiendo dos bases ortonormales de $(V,\langle, \rangle)$, se obtiene la misma medida de Lebesgue en $V$. En conclusión, la arbitrariedad en la definición de la medida de Lebesgue en un finito dimensionales $V$ es debido sólo a la elección de un producto interior en $V$.

Answer 2

Medida de Lebesgue en ${\mathbb R}^n$ se define como el producto de la medida resultante de la medida de Lebesgue en ${\mathbb R}$. Este último está fuertemente ligado a las características presentes en ${\mathbb R}$: da $[0,1]$ medida $1$, es la traducción de todos los idiomas, y se comporta como se espera en escala.

De ello se desprende que la medida de Lebesgue en ${\mathbb R}^n$ da el cubo unitario $[0,1]^n$ el volumen de $1$, es la traducción de todos los idiomas, y se comporta como se espera en escala.

La unidad de cubo está ligado a la forma en que ${\mathbb R}^n$ está definido, y que puede ser considerado como el más natural de set básico para la medición de volumen. Este cubo y sus traduce, etc., no se ven afectados por cualquier métrica que puede elegir más tarde.

Tenga en cuenta que hay diferentes nociones de "métrica" en este contexto: (i) una función de distancia $d:\>{\mathbb R}^n\times {\mathbb R}^n\to{\mathbb R}_{\geq0}$, y (ii) una métrica de Riemann definido en algunos colector $X$ a través de un tensor métrico $g$ sobre la tangente paquete de TX.

(i) Si se define en el avión ${\mathbb R}^2$ una métrica dejando $d(x,y)$ ser de alguna manera establecida distancia de camino entre el$x$$y$, entonces la Lebesgue área de medición en ${\mathbb R}^2$ es en la que ahora se ven afectados por las carreteras , sideroads, y los capilares presentes en el avión.

(ii) El juguete ejemplo de una métrica de Riemann es una constante métrica de Riemann en $X:={\mathbb R}^n$ sí. Está dada por una positiva definida simétrica matriz $[g]=[g_{ik}]$ que tiene que ser proporcionada por usted. Esta métrica se define un producto escalar $$\langle x,y\rangle:=\sum_{i,k} x_i\, g_{ik}\, y_k$$ en $X$, por lo que usted puede hacer geometría Euclidiana en $X$ según esta métrica. Ahora esta métrica Euclidiana en $X$ se define automáticamente un $d$-dimensiones volumen arbitrario $d$-dimensiones paralelogramos $P\subset X$ a través de la denominada Gramo determinante de la expansión de los vectores. En particular, el $n$-dimensional $g$-volumen de $n$-dimensiones parallelotopes $P\subset X$ es una constante en varias de las $n$-dimensional de la medida de Lebesgue $\lambda(P)$; en el hecho de que uno ha $${\rm vol}_g(P)=\sqrt{\det[g]}\>\lambda(P)\ .$$

Answer 3

Sí y no.

Puede definir una medida en $\mathbb{R}^n$, sin referencia a la métrica, que será igual medida de Lebesgue hasta una constante. Una forma de hacerlo es mediante la consideración de $\mathbb{R}^n$ como un localmente topológicos compactos grupo (en virtud de la adición de vectores) y, a continuación, utilizar la asociada a la medida de Haar. Medida de Lebesgue es compatible con la topología (es decir, es el Radón) y es la traducción de todos los idiomas, así que por la singularidad de la medida de Haar (hasta un constante), de esta manera conseguimos Lebesgue medir hasta una constante. Esto no hace uso de la métrica de ninguna manera, solo la topología y estructura del grupo.

En la distancia euclídea caso, elegimos a normalizar la medida, de modo que $[0,1]^n$ tiene una medida de 1. Esto parece que la geometría intuitiva, ya que un intervalo de $[a,b]$ puede ser considerado (trivialmente) como una curva en $\mathbb{R}^1$ y su longitud (con respecto a la métrica euclidiana!) es $b-a$. Sin embargo, tenga en cuenta que incluso la métrica normalizada de una cierta manera. Usted puede multiplicar la métrica euclidiana por cualquier positiva escalar y obtener una métrica que todavía satisface prácticamente todas las propiedades que nos gusta el espacio euclidiano. La longitud de una curva en esta métrica será un múltiplo, por el mismo escalar, de la longitud euclidiana y, en consecuencia, se podría decir que la medida apropiada para dar a $[0,1]$, cuando se trabaja con esta métrica, es el ya mencionado escalar.