Diagonalización del hamiltoniano que es lineal en los operadores de campo de Bose

Question

A menudo, en las teorías de campo medio, me he encontrado con Hamiltonianos de la forma $$H = \omega a^\dagger + \omega^* a + \epsilon_0$$ donde $a$ y $a^\dagger$ son los operadores regulares del campo de Bose y $\epsilon_0$ es una compensación de energía constante. ¿Existe una forma sencilla de diagonalizar los hamiltonianos de esta forma? He intentado buscarlo y no he encontrado ningún método para diagonalizar operadores de campo simples.

Answer 1

Utilice la representación directa de $a$ y $a^{\dagger}$ :

$$ a \left| n \right> = \sqrt{n} \left| n-1 \right>, $$ $$ a^{\dagger} \left| n \right> = \sqrt{n+1} \left| n+1 \right>. $$

Aplicar la ecuación de valores propios $H \left| \Psi \right> = E \left| \Psi \right>$ a un estado arbitrario

$$ \left| \Psi \right> = \sum_n \Psi_n \left| n \right>. $$

Obtendrá la siguiente relación recurrente:

$$ (E - \epsilon_0) \Psi_n = \omega \sqrt{n} \Psi_{n-1} + \omega^* \sqrt{n+1} \Psi_{n+1}. $$

Esto es lineal en $\Psi$ para todos $n$ Así que, o bien $\Psi_0 \neq 0$ o todo el estado es simplemente cero (lo que por supuesto no está permitido por los principios de la QM). No importa qué valor de $\Psi_0$ que elijas, sólo afectará a la normalización general.

Por lo tanto, elija un $\Psi_0$ y recuperar el resto de la relación recurrente.

Preguntas extra: ¿son sus estados propios normalizables? ¿Qué significa esto desde el punto de vista matemático y físico?