He reunido la esencia de un particular y agradable para la construcción de las clases de Chern de un topológico de ajuste, pero no puedo averiguar cómo encontrar la primera clase sin hacer uso de una clasificación de mapa. Me han dicho que esta construcción aproximadamente en AG sin clasificar mapas (evidentemente propuesto por primera vez por Grothendieck.)
Dado un vector paquete de $E \to B$ con fibra de $V$, formamos el projectivization $\mathbb P(E) \to B$, que tiene una tautológica sub-paquete de $L$, donde las fibras de $(x,\ell) \in P$ donde $x \in B$ $\ell \subset E_x$ es exactamente $\ell$.
Formal de descripción es dada en $10.1.5$ aquí.
Ahora, suponiendo que tenemos una descripción de $\alpha \in H^2(P,\mathbb Z)$, y argumentan que los poderes de este elemento restringir a los generadores $H^2(\mathbb CP^{n-1})$, y concluir con Leray Hirsch que $H^*(\mathbb P(E))$ es un módulo más de $H^*(B)$. Expresan $c_1(L)^n$ como una combinación lineal de la primera $n-1$ poderes da las clases de chern de $E$.
Pregunta 1: ¿Cómo se puede definir $c_1(L) \in H^2(P,\mathbb Z)$ sin el uso de la clasificación de mapa de $B \to \mathbb CP^{\infty}$ para la línea de paquetes?
Pregunta 2: ¿Puede el siguiente argumento que tenga que trabajar (por supuesto que completar?
Dada la tautológica bundle $L \to \mathbb P(E)$ uno puede usar a la asociación $Vect^1(\mathbb P(E)) \to \check{H^1}(\mathbb P(E))$ obtener $\alpha \in H^1(P,\mathbb C^{\times})$. Es allí una manera de mapa de $H^1(\mathbb P(E),\mathbb C^{\times}) \to H^2(\mathbb P(E),\mathbf Z)$ y el uso de este para obtener las clases de chern?
