¿Qué es la intuición del producto interior euclidiano?

Question

El producto interior euclidiano $<x,y>$ de los vectores $x , y \in \mathbb {R}^n$ se define por:

$ \langle x,y \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + ... + x_ny_n$

No puedo encontrar la intuición detrás de esto ¿Por qué necesitamos este producto interior? ¿Qué sucede con los vectores bajo la ecuación y qué nos dice la respuesta escalar?

P.D. Ya lo he buscado, la mayoría de los artículos lo toman en términos geométricos e introducen $ \cos\theta $ . ¿Alguien puede ayudarme a visualizar la cosa sin cosas angulares?

Edición: Pregunta dirigida aquí utiliza el ángulo para explicar el producto de los puntos geométricos. Me pregunto si existe alguna explicación para el producto de puntos en el espacio vectorial.

Answer 1

Probablemente esté familiarizado con la siguiente fórmula que implica un vector $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb R^n$ y $n$ constantes $a_1, \ldots, a_n$ que no son todos cero: $$ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 0. $$

Esta fórmula describe un $(n-1)$ -hiperplano dimensional en $\mathbb R^n.$ Llamemos a ese hiperplano $A.$ Es decir, cualquier vector $x$ que satisface la fórmula se encuentra en el hiperplano $A.$

Si definimos un vector $a = (a_1, \ldots, a_n),$ entonces otra forma de escribir la fórmula es $$ \langle x, a\rangle = 0. $$

Ahora bien, si elegimos un vector arbitrario $x \in \mathbb R^n,$ puede ocurrir que $\langle x, a\rangle \neq 0.$ Si tenemos dos vectores de este tipo, digamos $x'$ y $x'',$ tal que $\langle x', a\rangle > 0$ y $\langle x'', a\rangle > 0,$ entonces $x'$ y $x''$ estarán en el mismo lado del hiperplano $A.$ Pero si $\langle x', a\rangle < 0 < \langle x'', a\rangle$ entonces los vectores están en lados opuestos.

Para un vector determinado $x,$ supongamos que se encuentra un vector $y$ tal que $x - \langle x, a\rangle y$ está en el hiperplano $A.$ Entonces $x' - \langle x', a\rangle y$ también está en el hiperplano $A$ para cualquier otro vector $x'.$ Eso es, $\langle x, a\rangle$ le indica cuántas veces la longitud de $y$ tienes que viajar en dirección a $y$ para llegar desde $x$ al hiperplano, o en otras palabras, $\langle x', a\rangle$ es un tipo de medida de la distancia de $x$ del hiperplano (medido en algunas unidades particulares en alguna dirección particular).

Todo esto funciona sin "ángulos" (a no ser que se considere "paralelo" a un "ángulo cero").

Ni siquiera necesitas $(x_1, \ldots, x_n)$ para ser coordenadas sobre una base ortonormal, aunque si la base es ortonormal se obtienen otros buenos resultados. Por ejemplo, $$\sqrt{\langle x, x\rangle} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2},$$ que es la longitud de $x$ (según el Teorema de Pitágoras) si la base de $(x_1, \ldots, x_n)$ es ortonormal. Es cierto que para hablar de "normales" hay que tener el concepto de que las cosas son perpendiculares, lo que empieza a sonar como si estuviéramos tratando con ángulos de nuevo. Pero son ángulos rectos, con los que es especialmente sencillo trabajar.

Answer 2

$<x,y>$ es positivo si y sólo si el ángulo entre $x$ y $y$ es inferior a 90 grados. $<x,y>$ es una especie de medida de cómo se apunta en la misma dirección $x$ y $y$ son.

La geometría de los problemas de mínimos cuadrados y de los hiperplanos de separación es útil para intuir los productos internos.

Answer 3

La intuición se desprende de lo siguiente, dado por la Ley de los Cosenos

$$\| a -b\|^{2} = \| a\|^{2} + \| b\|^{2} - 2\| a\|^{2} \| b\|^{2}\cos(\theta) $$

$$ \| a-b\|^{2} = (a-b)^{2}\cdot(a-b)^{2} $$ $$ \| a-b\|^{2} = a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b \cdot b $$

es útil tener en cuenta que $a \cdot a = \| a\| $

$$ \| a-b\|^{2} = \|a \| - a\cdot b - b\cdot a + \| b\|$$

Además, tenemos $ a \cdot b = b\cdot a $ $$ \| a-b\|^{2} = \|a \| - 2 a\cdot b + \| b\|$$

por lo que tenemos

$$\| a -b\|^{2} = \| a\|^{2} + \| b\|^{2} - 2\| a\|^{2} \| b\|^{2}\cos(\theta) $$

$$ \| a\|^{2} - 2 a \cdot b + \| b\|^{2} = \|a\|^{2} + \|b\|^{2} - 2\|a\| \|b\| \cos(\theta) - 2 a \cdot b = -2 \|a \| \|b\| \cos(\theta) $$

cediendo finalmente $$a \cdot b = \| a \| \| b\| \cos(\theta) $$

Supongamos ahora que

$$ \|a\| = \|b\| =1 $$ $$ a \cdot b = 1 \cdot 1 \cos(\theta) = \cos(\theta)$$ Bien, cuando esto es negativo. Tenemos un círculo unitario aquí para los vectores

$$ a \cdot b = \cos( \theta) < 0 \implies \frac{n\pi}{2} < \theta < \frac{3n\pi}{2} $$

es decir, estamos en una parte del círculo. Sin embargo, se prolonga eternamente.

Nota de lamar