Hay una gran diferencia en la insuficiencia de los axiomas y la insuficiencia de las reglas de inferencia y la prueba de procedimiento para tener una teoría completa?
Parece que, en muchos casos, la adición de una nueva regla de inferencia o de un nuevo axioma tiene el mismo efecto. Por ejemplo, considere la posibilidad de un lenguaje con 2-colocar las conectivas $\rightarrow, \land$. El lenguaje también tiene una regla de inferencia $a\rightarrow b,a \Longrightarrow b$.
Ahora podemos añadir un nuevo axioma esquemas: $a\land b \rightarrow a$ $a \land b\rightarrow b$ para cualquier fórmula $a,b$. Una alternativa es añadir una nueva reglas de inferencia: $a\land b \Longrightarrow a$$a\land b \Longrightarrow b$. En este caso lo que afirman las teorías son equivalentes, no importa el axiomatization.
En particular, creo que en segundo orden la lógica de algo que nos impide la sustitución de las reglas de inferencia con los axiomas, no importa cómo muchas de las reglas de inferencia son definidos, ya que los de segundo orden a prueba de cálculo es siempre insuficiente (por ciertas teorías). De lo contrario podríamos utilizar siempre la misma prueba de cálculo y se limita a añadir axiomas, y por lo tanto tienen un universal de la prueba procedimiento de comprobación. ¿Por qué la adición de los axiomas en lugar de las reglas de inferencia no?