Curva cúbica proyectiva pasa por siete puntos en $\mathbb{C}^2$

Question

Deje $x_1,...,x_7$ ser distintos puntos en $\mathbb{C}^2$. Demostrar que existe un cúbicos curva que pasa a través de estos puntos tiene una singularidad en el punto de $x_1$.

Mi intento, hasta ahora... Una pregunta relacionada con fue: muestran que por cada cinco puntos de $a_1,...,a_5\in\mathbb{P}^2$, hay una cónica que contiene. En la solución dada fue de (aproximadamente) argumentó que el espacio de la formas cuadráticas es una $6$-dimensional espacio vectorial y que la condición de $q(a_i)=0$ de la cónica $q=0$ es una ecuación lineal en los coeficientes de $q$. Ahora, la imposición de $5$ condiciones lineales en un $6$-dimensional espacio vectorial deja al menos un $1$-dimensiones del espacio de soluciones - que es el deseado cónica.

Es allí una manera de aplicar este enfoque a la pregunta? Si es así, supongo que el espacio de las formas cúbicas tiene dimensión $10$, es esto correcto? No sé cómo la singularidad se muestran aquí.

Answer 1

Deje $\mathbb{P}^N\equiv\mathbb{P}(\mathbb{C}[z_0,z_1,z_2]_3)$ ser el espacio de avión cúbicos (proyectiva) curvas; su dimensión $N$ es \begin{equation} \binom{3-1+3}{3}-1=10-1=9. \end{equation} Deje $\displaystyle F=\sum_{i_0+i_1+i_2=3}a_{i_0i_1i_2}z_0^{i_0}z_1^{i_1}z_2^{i^2}$ ser el genérico polinomio homogéneo de grado $3$ en tres variables; vamos a \begin{equation} \nu_{2,3}:\mathbb{P}^2\to\mathbb{P}^9 \end{equation} ser Veronese en la incorporación de la (compleja) proyectiva del plano en $\mathbb{P}^9$; uno sabe que la imagen de $F$ través $\nu_{2,3}$ es un hyperplane $H$.

Las condiciones de $F([1:x_k])=0$ donde $k\in\{1,\dots,7\}$ $[1:x_k]$ son homogéneos cordinates de $x_k$'s $\mathbb{P}^2$, restricción $H$ pasando a través de $7$ distintos puntos de $\mathbb{P}^9$: esto es posible, por lo que existen cúbicos plano de curvas que pasen por los puntos de $x_k$.

Comentario 1. Si uno ha $9$ puntos distintos en $\mathbb{P}^2$, entonces el hyperplane $H$ está determinada únicamente; en otras palabras, en $9$ puntos distintos en $\mathbb{P}^2$ consigue a través de una única cúbicos plano de la curva.

Deje $F_{z_1}\equiv F_1$ $F_{z_2}\equiv F_2$ ser el parcial derivaties de $F$; la curva de $\Gamma=\{F(1:z_1:z_2)=0\}$ tiene un (único) punto singular si el sistema de \begin{equation} \begin{cases} F(1:z_1:z_2)=0\\ F_1(1:z_1:z_2)=0\\ F_2(1:z_1:z_2)=0 \end{casos} \end{equation} admite una (única) solución; por el anterior razonamiento, se corrige $7$ $10$ coeficientes de $F$, por lo que el sistema anterior puede tener a lo sumo una solución única después de corregido el otro $3$ coeficientes de $F$.

Finded esta solución, se ha determinado un cúbicos plano de la curva de $\Gamma$ que pasa por los puntos a $x_k$ con un punto singular.

Observación 2. El proyectivas de cierre de $\Gamma$ es una curva elíptica.