Valor esperado de un determinante

Question

Supongamos que construyo un $n \times n$ matriz $A$ de forma que cada entrada de $A$ es un número entero aleatorio comprendido entre $[1, \, n]$ . Me gustaría calcular el valor esperado de $\det(A)$ .

Mi conjetura es que la respuesta es cero, aunque bien podría equivocarme. He realizado algunos experimentos numéricos con distintos valores de $n$ y un gran número de ensayos, parece que $\mathbb{E}[\det(A)]$ se sitúa normalmente en el intervalo $[0.25, \, 0.7]$ así que estoy empezando a perder la fe en mi intuición de que es cero.

¿Podría alguien darme algún consejo sobre cómo enfocar este problema y qué estrategias podría considerar aplicar?

Answer 1

La respuesta de Rebecca está bien, pero aquí hay otra solución que puede ser más sencilla para algunas personas: Que $f$ sea una función que intercambie las dos primeras filas. Observe que $f(A)$ y $A$ tienen la misma distribución, y por tanto $$\mathbb{E}[\det A] = \mathbb{E}[\det f(A)] = \mathbb{E}[-\det A] = - \mathbb{E}[\det A].$$

Answer 2

Para $n \geq 2$ dividimos las matrices en "órbitas" formadas por el intercambio de las dos primeras filas:

• Órbitas de tamaño $1$ tienen dos filas idénticas, por lo que $\det=0$ .

• Órbitas de tamaño $2$ tienen matrices de determinantes de igual magnitud pero signo opuesto.

Por lo tanto $\sum_A \det(A)=0$ y así $\mathbb{E}(\det(A))=\tfrac{1}{n^{n^2}}\sum_A \det(A)=0$ .

Answer 3

Los elementos de su matriz parecen ser de forma independiente y idénticamente variables aleatorias distribuidas, todas ellas siguiendo una distribución Uniforme discreta $a_{ij} \sim U(1,n)$ . Entonces, a nivel teórico, todo está muy claro:
Cualquier $n \times n$ determinante, $n>2$ se descompone en una suma (con signos variables, por supuesto) de $2 \times 2$ determinantes, con términos multiplicadores delante.

Uno de estos términos, típico en su estructura, sería (sin tener en cuenta el signo)

$$a_{11}\cdot a_{22}\cdot...a_{n-2,n-2} \cdot \left (a_{n-1,n-1} a_{nn} - a_{n-1,n}a_{n,n-1}\right)$$

y, debido a la independencia

$$E\left[a_{11}\cdot a_{22}\cdot...a_{n-2,n-2} \cdot \left (a_{n-1,n-1} a_{nn} - a_{n-1,n}a_{n,n-1}\right)\right]$$

$$=E\left[a_{11}\cdot a_{22}\cdot...a_{n-2,n-2} \right]\cdot \left (E(a_{n-1,n-1}) E(a_{nn}) - E(a_{n-1,n})E(a_{n,n-1})\right)$$

Pero las variables también están idénticamente distribuidas, por lo que su valor esperado es el mismo. Así que

$$E(a_{n-1,n-1}) E(a_{nn}) - E(a_{n-1,n})E(a_{n,n-1}) =0$$

en todos los casos, por lo que todos esos términos son cero, y el valor esperado del determinante será cero.

Obviamente, si los elementos de la matriz no son v.r. independientes, no podemos romper los valores esperados y el resultado cero no se cumple en general. Entonces, ¿quizás la forma en que extraes los números aleatorios hace que los elementos de la matriz no sean independientes? ¿Quizás para cada fila o columna extraes "sin reemplazo"?

Pero supongamos que extraemos correctamente números independientes/variables aleatorias, y queremos "ver con nuestros propios ojos" que el "valor medio" sí converge a cero. ¿Cómo lo hacemos? Para $n$ el "análogo muestral" del valor esperado del determinante es

$$\overline {\det(A)}= \frac 1m\sum_{i=1}^m\det(A_m)$$ donde $m$ es el número de matrices generadas de la misma manera...

...y la bonita y limpia imagen proporcionada por el operador Valor Esperado y la hipótesis i.i.d. acaba de desvanecerse, porque la media muestral de los determinantes no es la media de una suma de v.r. independientes: los componentes de cada determinante son, por supuesto, independientes de los componentes de todos los demás determinantes, en efecto. Cada componente de cada determinante está formado por v.i.r. i.d. (es un producto de uniformes discretos i.i.d.). Pero entre ciertos componentes de cada determinante, habrá dependencia ya que tendrán algunos v.r. en común. Por ejemplo el determinante de la matriz

$$B=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$$ es

$$|B|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$

y podrás ver las distintas dependencias estocásticas. Esto hace que el destino de las simulaciones para $\overline {\det(A)}$ una cuestión bastante más complicada de determinar, hacerse una idea del ritmo de convergencia, etc. En otras palabras, tu conjetura es correcta, pero verla materializada a través de una simulación por ordenador puede ser otra cosa.

Answer 4

Sea $A_n$ ser un $n \times n$ matriz.

El caso de un $1 \times 1$ es un poco diferente del caso general. Dado que el determinante es sólo la entrada única en sí, se deduce que, puesto que la entrada debe ser uno, el determinante es también uno.

Para $n \geq 2$ puedes demostrar que la respuesta es cero utilizando la inducción. Consideremos el caso $n=2$ y la matriz correspondiente $A_2$ . Su determinante es

$$ \det(A_2) = \left| \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \right| = ad - bc. $$

En otras palabras,

$$ \mathbb{E}[\det(A_2)] = \mathbb{E}[ad-bc] = \mathbb{E}[ad] - \mathbb{E}[bc] = \mathbb{E}[a]\mathbb{E}[d] - \mathbb{E}[b]\mathbb{E}[c] $$

donde la segunda igualdad proviene de la linealidad del valor esperado y la segunda del hecho de que $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son variables aleatorias independientes. No es difícil ver que $\mathbb{E}[X] = (2+1)/2 = 3/2$ para $X \in \{ a, \, b, \, c, \, d \}$ . Así,

$$ \mathbb{E}[\det(A_2)] = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 0. $$

A continuación, supongamos que $\det(A_n) = 0$ donde $A_n$ es un $n \times n$ matriz.

Para el paso inductivo, observe que $\det(A_{n+1})$ puede escribirse como

$$ \det(A_{n+1}) = \lambda_1\det\left(A_{n}^{(1)}\right) - \lambda_2\det\left(A_{n}^{(2)}\right) + \lambda_3\det\left(A_{n}^{(3)}\right) - \cdots \pm \lambda_{n+1}\det\left(A_{n}^{(n+1)}\right) $$

utilizando el método habitual para expandir el determinante a través de la fila superior (o cualquier fila/columna, en realidad) del $(n+1) \times (n+1)$ (nótese que he utilizado los superíndices simplemente para indexar la matriz $n \times n$ matrices). Dado que $\det\left(A_n^k\right) = 0$ para $k = 1, \, 2, \dots, \, n+1$ el determinante es cero para $n \geq 2$ por inducción.

Uniendo estos resultados, tenemos

$$ \mathbb{E}[\det(A_n)] = \begin{cases} 1, & n = 1 \\ 0, & n \geq 2. \end{cases} $$

Observe que puede extender fácilmente este resultado para demostrar que si las entradas proceden de cualquier conjunto acotado, el determinante debe ser cero para $n \geq 2$ .