Si$ab \mid c(c^2-c+1)$ y$c^2+1 \mid a+b$ prueban que$\{a, b\}=\{c, c^2-c+1 \}$

Question

Si$ab \mid c(c^2-c+1)$ y$c^2+1 \mid a+b$ prueban que$\{a, b\}=\{c, c^2-c+1 \}$ (conjuntos iguales), donde$a$,$b$ y$c$ son enteros positivos.

Este es el problema del concurso de matemáticas (no sé la fuente). Estaba luchando por resolver esto, pero no puedo encontrar una manera de hacerlo más fácil. ¿Me puedes ayudar?

Todo lo que hice fue así:$$a+b=d(c^2+1)=d(c^2-c+1+c) \\ c(a+b)=dc(c^2-c+1)+dc^2 \\ c(a+b)=deab+dc^2=d(eab+c^2)$ $ Supongo que esto es cuadrático en$c$ y determina su discriminante. ¡Pero no hace el problema más fácil!

Answer 1

La PISTA.-Para algunos enteros positivos $m,n$ hemos

$$\begin{cases}a+b=m(c^2+1)\\abn=c(c^2-c+1)\end{cases}\Rightarrow c^2-\frac{a+b}{m}c+abn=0$$ Si $m$ $n$ son igual a $1$ $c$ es raíz de la ecuación $X^2-(a+b)X+ab=0$, de la que claramente $c\in\{a,b\}$. Fácilmente se deduce que $a$ o $b$ es igual a $c^2-c+1$.

Si tanto $m$ $n$ es mayor que $1$ $c$ es la raíz de $X^2+\dfrac{a+b}{m}X+abn=0$ donde la suma de las dos raíces se reduce mientras el producto está ampliada. Esto no es posible para los enteros positivos.

Me voy para el O. P. el caso de que sólo uno de los $m,n$ es igual a $1$

Finalmente, la prueba es clara (que se ha hecho ya anteriormente) porque necesariamente los enteros positivos $m$ $n$ son igual a $1$.

Answer 2

Supongamos que tenemos:

$m^2k^2(c^2+1)^2-4mc(c^2-c+1)=t^2$

$(m^2k^2(c^2+1)^2-t)(m^2k^2(c^2+1)^2+t)=4mc(c^2-c+1)$

Podemos tener un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

$m^2k^2(c^2+1)^2-t=4mc$

$m^2k^2(c^2+1)^2+t=c^2-c+1$

Sumando dos ecuaciones obtenemos:

$2m^2k^2(c^2+1)^2=4mc+c^2-c+1$

$k^2=\frac{2mc+(c^2-c+1)/2}{2m^2(c^2+1)^2}$

Ahora el problema se reduce a: cuál es la condición para que$2mc+(c^2-c+1)/2$ sea un cuadrado perfecto. El discriminante de la relación cuadrática$2mc+(c^2-c+1)/2≥0$ dará un rango de valor para m, que es finalmente la condición para que la relación inicial sea una cuadrado perfecto.