¿Cómo puede un péndulo tiene amplitud mayor al $\pi$?

Question

¿Cómo puede un péndulo tiene la amplitud del ángulo mayor de $\pi$? He estado leyendo acerca de la fase de parcelas, las cuales se muestran las gráficas de la $\frac{d\theta}{dt}$ $y$ eje y $\theta$ $x$ eje, se muestra a continuación.

Puedo entender que las curvas no son óvalos perfectos porque no podemos usar la aproximación de ángulo pequeño. También puedo ver que no es una curva en el lado derecho del dibujo que se parece a una curva sinusoidal de la forma, pero se cruza con el $x$ eje $\pi$$-\pi$.

Pero, ¿cómo son las otras curvas es decir, la curva de intersección $y$ eje a +2 creado? Lo que la ecuación que da y cómo sería el movimiento del péndulo? ¿Cómo sería esta ecuación se deriva?

Tengo un péndulo ecuación de $$\frac{d\theta}{dt}=\pm\sqrt{\frac{2g}{l}(1-cos\theta_A)}$$ ($\theta_A$ es de amplitud)

Deduje que con la conservación de la energía de las leyes, como la de un péndulo simple, pero yo no hice el pequeño ángulo de aproximación. Traté de poner $\theta_A=\pi+1$ y tengo un simple óvalo, no el par de curvas que es simétrica alrededor de la $x$ eje. No entiendo las matemáticas y la notación se utiliza en esta pregunta: ¿Cuál es el periodo de un péndulo físico sin utilizar la aproximación de ángulo pequeño?

Estoy confundido.

Answer 1

¿Cómo son los otros curvas es decir, la curva de intersección del eje y +2 creado?

El truco detrás de la comprensión de que la fase retrato es darse cuenta de que la 'amplitud' no es el fundamental cantidad que actúa como la diferencia entre esas líneas.

La amplitud de oscilación de un péndulo es generalmente considerado como el ángulo de desplazamiento o en el que la velocidad es cero, de acuerdo a los convencionales de la intuición. Pero vemos que la línea que usted ha señalado, la una con un máximo de velocidad angular de $2$, nunca llegue a $\frac{d\theta}{dt}=0$, por lo que un 'péndulo'described por esa línea no tienen una amplitud de acuerdo a nuestra definición habitual.

La solución? Usted necesita pensar de máxima velocidad angular como la base fundamental de la cantidad en su lugar. Para cada péndulo se muestra por que la fase de retrato, la máxima velocidad angular será en el punto más bajo del péndulo de la trayectoria. Por lo que cada línea en la que la fase retrato representa un diferente período de prueba con el mismo péndulo, a excepción de la velocidad angular en el punto más bajo es diferente cada vez.

Pensar en la realización de un experimento para probar el comportamiento del péndulo de amplitud diferentes ángulos, pero cada ensayo, en lugar de dejar caer el péndulo desde una posición diferente, se inicia desde el mismo punto de base con una diferente velocidad. Y obviamente $v=l\dot{\theta}$ donde $\frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}$, por lo que será a partir de diferentes inicial de velocidades angulares.

Lo que la ecuación que da y cómo sería el movimiento del péndulo?

Ahora vamos a considerar la posibilidad de iniciar el péndulo con una muy alta velocidad angular... que finalmente va a terminar moviendo en un círculo completo! Cuando el péndulo alcanza $\theta=\pi$, todavía tiene algo de energía cinética, y va a descender en el lado opuesto de 'lado' de el péndulo de pivote.

Cuando estás en el punto más bajo, usted tendrá la mayor velocidad y, por tanto, la mayor velocidad angular. A medida que aumenta la altura, la energía potencial aumenta, por lo tanto la energía cinética disminuye y la velocidad angular disminuye. Y así ves a un mínimo, pero no cero de la velocidad angular al $\theta=\pi$ de acuerdo a la fase de retrato.

¿Cómo sería esta ecuación se deriva?

Conservación de la energía funciona de nuevo, a pesar de que el Lagrangiano puede ser más fácil. Usted sabe que la energía cinética inicial, debido a sus condiciones iniciales, se dará $l$$\dot{\theta}_{max}$. También, en cualquier ángulo de $\theta$, la energía potencial es $mgl(1-\cos\theta)$. Si usted considera que la energía en un par de puntos diferentes y les corresponden, obtendrá $$\dot{\theta}=\pm\sqrt{\dot{\theta}_{max}^2-\frac{2g(1-\cos\theta)}{l}}$$

Puede que se me han mencionado que soy un gran fan de ultra-colorido diagramas, así que aquí está uno me tiró juntos. Es mucho más claro que el monocromo cosa en la pregunta.

Answer 2

Has nunca jugó en un columpio del parque infantil y consiguió preocupado que si cualquiera fuiste más rápido, usted ¿oscilación derecho sobre la barra y el inicio va alrededor y alrededor de? Eso es lo que está pasando aquí. Si usted da el péndulo más energía que $2 m g \ell$, entonces a llegar a la cima y seguir adelante, haciendo pivotar alrededor y alrededor. Estrictamente hablando no es amplitud, puesto que no es oscilante.

Answer 3

En su fase de retratos, el eje horizontal es $\theta$, y el eje vertical es proporcional a $\dot \theta$. Cada trayectoria (línea roja), que corresponde a una energía constante. La trayectoria que cruza el axis horizontal es el que tiene la energía suficiente para hacer simplemente es alrededor de un círculo completo sobre el pivote. Las trayectorias, como el que se especifica que ir a +2 en el eje vertical son las trayectorias que tengo mucha más energía, donde el péndulo gira "rápidamente" alrededor del punto de pivote. En este caso no hay amplitud en $\theta$. También tienes que tener en cuenta que el tiempo no es explícita sobre estos fase de retratos.

Para un péndulo simple, otra forma de escribir la ecuación de movimiento es $\ddot \theta =\frac{g}{L} sin(\theta)$. Esta ecuación no tiene una solución de $\theta (t)$ podemos escribir con funciones simples en general. Debe resolverse numéricamente. Si utilizamos la aproximación de ángulo pequeño, entonces podemos obtener una buena solución escrita en términos de senos y cosenos. Por supuesto, si estamos mirando el retrato de fase, entonces la ecuación de $\dot \theta (\theta)$ es una forma perfectamente válido para ver "cómo el péndulo de la moción mirada", como usted lo pidió en su pregunta. La fase retrato no nos dice la velocidad a la que viajamos a lo largo de una trayectoria en el espacio de fase, pero esto no es necesario para entender mucho de este sistema cualitativamente.

Ya he mencionado una respuesta a la pregunta del título, pero voy a tratar de una forma más explícita aquí. El péndulo no puede tener una amplitud mayor que $\pi$. La amplitud se define por el mayor $\theta$ puede ser. Usted puede ver la mayor energía trayectorias no tienen un máximo de $\theta$ $\theta$ aumenta o disminuye para siempre. Incluso si se limita su rango de $\theta$ a sólo el estar en el rango de $[-\pi ,\pi ]$ en estos grandes de la energía de los casos, su "amplitud" ahora es $\pi$ y no puede ser de cualquier grande.