¿Tiene alguna ventaja aprender lógica y teoría de conjuntos antes que aritmética, álgebra y geometría?

Question

Me gustaría llegar a dominar una amplia variedad de matemáticas serias, pero actualmente soy uno de esos estudiantes a los que les fue muy mal en las asignaturas de matemáticas en la escuela, sin llegar a completar ni siquiera el álgebra básica. Mi fracaso en matemáticas ha sido una conciencia siempre presente durante toda mi vida, y me gustaría ir más allá. Estoy en un campo técnico y mi falta de buenos fundamentos matemáticos no me ha paralizado, pero me gustaría llenar ese hueco.

He empezado a ponerme muy en serio con el (re)aprendizaje de las matemáticas, a partir de mis bases aritméticas algo pobres. Entiendo que hay esencialmente dos escuelas de pensamiento: La escuela de pensamiento que sugiere aritmética->álgebra->geometría/cálculo (en cualquier orden)->análisis->todo lo demás, y la escuela de pensamiento que sugiere que es importante la comprensión de la Teoría de Conjuntos y la Lógica (siendo la base de las matemáticas).

Sé que eventualmente aprenderé teoría de conjuntos y lógica, pero ¿hay algún beneficio en aprender estas cosas antes de intentar el resto de las matemáticas? Si uno tuviera que aprender esas cosas, ¿cuál es el mejor lugar para que un principiante completo comience? Si tuviera que elegir la teoría de conjuntos, ¿sería ZFC la única buena opción para un completo principiante?

Answer 1

Un objetivo primordial de la "Teoría de Conjuntos y Lógica" (lo pongo entre comillas porque me da la sensación de que te refieres a una escuela de pensamiento concreta, y no a las materias puras por sí solas) es dar fundamento y motivación a las estructuras y sistemas de números que utilizamos habitualmente. Como ejemplo más básico, se han hecho esfuerzos para definir los números naturales en términos de conjuntos . Otro ejemplo básico es el esfuerzo por definir las matemáticas como una extensión de la lógica .

Aunque se trata de estudios muy interesantes, yo clasificaría este tipo de estudios más bien bajo el epígrafe de "metamatemáticas" o fundamentos de las matemáticas . En esencia, este tipo de estudio funciona al revés del mundo familiar de los números y las áreas matemáticas que conocemos, e intenta fundamentar estas estructuras en ideas "fundamentales" bien definidas (siento tener que ser vago aquí, ¡pero esto es abstracto!).

En cualquier caso, por lo que he dicho, puedes tener la sensación de que estos tipos de estudio no son las áreas típicas en las que un principiante debería involucrarse, a menos que ese principiante sea de una disposición más filosófica; en otras palabras, estas áreas son de una naturaleza más amplia, y tienen un "sabor" conceptual diferente. Tratan de unificar las estructuras matemáticas en estructuras más básicas.

Por otro lado, el matemático "típico" trabaja dentro de los campos establecidos de las matemáticas; es decir, utiliza y manipula las estructuras y los símbolos que se le dan, en un intento de descubrir conexiones más profundas y nuevas relaciones. No suele ocuparse de los fundamentos, que son un estudio completamente aparte.

Así que, después de haber dicho todo eso, mi consejo práctico es seguir la ruta "Álgebra -> Precálculo -> Cálculo -> etc.". Eso le da a uno las herramientas necesarias para el estudio avanzado, y lo familiariza a uno (¡a buen ritmo!) con lo que realmente hacen los matemáticos. Y, en mi opinión, el Cálculo es absolutamente esencial en este camino, porque estudiarlo da como resultado una cierta comprensión y madurez en matemáticas que uno necesitará durante el resto de su carrera matemática (por ejemplo, las nociones de límite y derivada en el Cálculo son realmente fundamentales, y son grandes ejemplos de intuición y pensamiento matemáticos).

Sólo una nota al margen, soy no lo que implica que el campos independientes de Lógica y Teoría de Conjuntos, como asignaturas por sí solas, son "profundamente abstractas" en el sentido que he descrito anteriormente (es decir, se relacionan con los fundamentos de las matemáticas); pero dicho esto, tampoco creo que sirvan como estudios iniciales. Creo que caen bajo el "etc." en el camino que mencioné anteriormente.

Espero que esto te ayude a decidir cómo quieres proceder. Buena suerte.

Answer 2

Depende de lo que quieras hacer con las matemáticas. Si tu objetivo es crear un repertorio de herramientas para la resolución de problemas en la ciencia y la industria, probablemente obtendrás toda la teoría de conjuntos y la lógica que necesites en el capítulo introductorio de cualquier buen libro de texto de álgebra o cálculo. Si la lectura y la escritura de pruebas detalladas (por ejemplo, demostrar que hay un número infinito de números primos) es importante para usted, puede necesitar algo más.

Creo que es posible obtener una licenciatura en matemáticas puras sin tratar nunca en profundidad cuestiones fundamentales como los axiomas de la teoría de conjuntos (ZFC, etc.). Realmente es un interés bastante especializado. Yo me quedaría con el álgebra, el cálculo y la estadística orientados a la aplicación por ahora. Tras unos años de estudio, puede que la teoría de conjuntos tenga sentido para ti. Pero no te preocupes si no lo tiene.

Answer 3

Parece que necesitas una oportunidad para evaluar tus propios puntos fuertes y débiles como aprendiz de matemáticas que se ajuste a tu situación actual.

Si estás en un campo técnico, y quieres sopesar la exploración de la materia tradicional frente a empezar con los fundamentos, yo propondría modificar tu secuencia para filtrar el Álgebra Lineal desde "todo lo demás" a algún lugar anterior en la cadena, después del álgebra pero quizás antes del cálculo.

Por un lado, no se puede exagerar la importancia del álgebra lineal en las matemáticas aplicadas. Por otro lado, como tipo de álgebra abstracta, el estudio del AL se adapta bien a un tipo de presentación a prueba de teoremas y puede proporcionar una primera oportunidad de ver los conjuntos y la lógica en acción, con muchas menos dificultades conceptuales que, por ejemplo, el cálculo a un nivel de rigor similar.

Como introducción a LA para aplicaciones, considere el 18.06 de Strang conferencias en línea en MIT OpenCourseWare. Para un enfoque axiomático a nivel introductorio, está Axler, Linear Algebra Done Right.

En cuanto a las matemáticas y los fundamentos en general, hay excelentes libros de texto, pero no te limites a ellos. Puedes aprender mucho sobre las matemáticas, lo que son y lo que son las pruebas y el papel que desempeñan los fundamentos a partir de obras populares de alta calidad; éstas pueden ser suficientes para satisfacer tu curiosidad sin necesidad de un curso de nivel universitario (o pueden abrirte el apetito por más, y darte una ventaja en ello también). A continuación, algunos títulos antiguos como semillas para su propia búsqueda:

• Eves, Fundamentos y conceptos fundamentales de las matemáticas
• Newman, El mundo de las matemáticas
• Boyer, Historia del cálculo y su desarrollo conceptual ( archivo.org )

Answer 4

Si quieres aprender teoría de conjuntos y lógica. Puedes empezar por el libro de Kunen: Teoría de conjuntos . Es un buen libro para un principiante. Espero que le sea útil.