¿Cómo demostrar el teorema de Pitágoras usando vectores

Question

Tengo una pregunta sobre cómo demostrar el teorema de Pitágoras usando la siguiente suposición:

$x$ es perpendicular a $y$ (si y solo si) $||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$, donde $x$ e $y$ son vectores.

Tengo un entendimiento básico de álgebra lineal, sin embargo soy principiante en esto. La pregunta proporciona pistas sobre cómo probar la ecuación mencionada anteriormente.

Es decir, que debo usar las propiedades del producto punto y la definición de la norma de un vector. Siendo la simetría, la escala y la distributividad como propiedades del producto punto y la norma de un vector siendo la raíz cuadrada del producto punto entre el mismo vector.

Estaba pensando en usar el hecho de que si un vector es perpendicular a otro vector, el producto punto entre esos vectores debería ser 0. Pero eso no se proporciona como una pista así que no estoy seguro. Sé que el pensamiento subyacente detrás de eso es la regla del coseno para vectores, que es:

$$x\cdot y = ||x||\,||y|| \cos(\theta)$$

Si el ángulo entre los dos vectores es perpendicular, deberías usar $\cos(\pi/2)$ que es $0$ y $||x||\cdot 0 = 0$ y $||y||\cdot 0 = 0$ con los vectores no necesariamente siendo $0$. Así que $x\cdot y = 0$. ¿Cómo podría aplicar esto a la ecuación que mencioné primero para demostrar el teorema de Pitágoras?

Tengo algunas ideas más sobre cómo podría demostrar esto pero no estoy seguro de si son correctas. Espero que alguien pueda orientarme en la dirección correcta.

Answer 1

$x, y$ son perpendiculares si y solo si $x\cdot y=0$. Ahora, $||x+y||^2=(x+y)\cdot (x+y)=(x\cdot x)+(x\cdot y)+(y\cdot x)+(y\cdot y)$. Los dos términos del medio son cero si y solo si $x, y$ son perpendiculares. Entonces, $||x+y||^2=(x\cdot x)+(y\cdot y)=||x||^2+||y||^2$ si y solo si $x, y$ son perpendiculares.

Answer 2

La definición de $||x||$ para vectores es: $$||x|| = \sqrt{x\cdot x}.$$

Entonces, se tiene que \begin{align*} ||x+y||^2 &= (x+y)\cdot(x+y) &\text{(por definición)}\\ &= x\cdot x + x\cdot y + y\cdot x + y\cdot y &\text{(por distributividad)}\\ &= x\cdot x + y\cdot y + 2(x\cdot y) &\text{(por simetría)}\\ &= ||x||^2 + ||y||^2 + 2(x\cdot y) &\text{(por definición)}\\ &= ||x||^2 + ||y||^2 + 2||x||\,||y||\cos(\theta), \end{align*} donde $\theta$ es el ángulo entre $x$ e $y$.

Esto se cumple en cualquier caso.

Entonces, $||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$ si y solo si $2||x||\,||y||\cos(\theta)=0$. Una posibilidad es que $||x||=0$; otra es que $||y||=0; y la última es que $\cos(\theta)=0$. Así que la igualdad se cumple si y solo si ocurre uno de los siguientes casos:

1. $||x||=0$;
2. $||y||=0;
3. $\cos(\theta)=0$ donde $\theta$ es el ángulo entre $x$ e $y$, $x\neq 0$, $y\neq 0.

Answer 3

Un error de mayor orden a veces es cometido por estudiantes más avanzados de matemáticas que pasaron más allá de la trigonometría y se aventuraron en la geometría multidimensional. En espacios multidimensionales cuyos elementos son vectores, a menudo se define lo que se conoce como el producto escalar y luego también un ángulo entre dos vectores. Por ejemplo, para dos vectores a y b, si el producto escalar se denota a·b, entonces el ángulo γ entre los dos se define a través de la función coseno como:

cos γ = a·b / ||a|| ||b||, donde ||a|| es la norma del vector a: ||a||² = a·a y de manera similar para ||b||.

Para γ = 90°, se deduce a partir de las propiedades del producto escalar que

||a - b||² = ||a||² + ||b||², lo cual, en un caso de 2 dimensiones, se ve fácilmente que expresa el teorema de Pitágoras común.

Critica

El problema con esta derivación es que la teoría de los espacios vectoriales es completamente algebraica (o analítica, si se quiere). Los vectores se definen como n-tuplas de números reales que es seguido por la definición componente a componente de las operaciones vectoriales. Dentro de este marco, la identidad vectorial de Pitágoras mencionada anteriormente es de hecho una consecuencia fácil de los axiomas y definiciones. Sin embargo, la relación entre la geometría común y la geometría de los espacios vectoriales es la de un modelo y una teoría abstracta. La identidad vectorial anterior no demuestra el teorema de Pitágoras. Solo muestra que hay una relación estrecha entre el modelo y la teoría. Confirma esta relación, tal vez ofrece una perspectiva adicional sobre el teorema de Pitágoras, pero no lo demuestra de ninguna manera.

Crédito va a: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/FalseProofs.shtml

Answer 4

Si entendí la pregunta correctamente, tienes que demostrar que $$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$$ si y solo si $x$ e $y$ son perpendiculares. Es decir, como señalaste, $x \cdot y = 0.

Pista: Puedes usar las siguientes fórmulas: $$\|x\|^2 = x \cdot x$$ $$(x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$$