¿La convergencia de la función para las secuencias racionales e irracionales implica su convergencia para cualquier secuencia real?

Question

Se dan las siguientes dos afirmaciones ($x_r$ denota una secuencia de números racionales, y$x_i$ denota una secuencia de números irracionales):$$1. \forall x_r \to 1 \implies f(x_r) \to f(1)$ $$$2. \forall x_i \to 1 \implies f(x_i) \to f(1)$ $

¿Son suficientes para concluir que$$\forall x_n \to 1 \implies f(x_n) \to f(1) $$ where $ x_n $ denota la secuencia de números reales.

Si uno necesita el$f$, aquí está:$$f(x) = \begin{cases} x-1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \in \mathbb{Q}^{c} \end{cases}$ $

Answer 1

Sí lo es.

Sugerencia: dada la secuencia$x_n$, supongamos que hay un número infinito de términos tanto racionales como irracionales (de lo contrario, la prueba es trivial). Defina dos subsecuencias tomando los términos racionales en el primero y los términos irracionales en el segundo, luego haga las estimaciones habituales$\epsilon$ -$\delta$ para demostrar que la secuencia completa converge a$1$

Answer 2

Usted está expresando a sí mismo muy mal, pero la idea es correcta. De hecho, si $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb R$ es tal que

• para cada secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ de los números racionales, $\lim_{n\to\infty}x_n=1\implies\lim_{n\to\infty}f(x_n)=1$;
• para cada secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ de los números irracionales, $\lim_{n\to\infty}x_n=1\implies\lim_{n\to\infty}f(x_n)=1$

entonces es cierto que, para cada secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ de real números,$$\lim_{n\to\infty}x_n=1\implies\lim_{n\to\infty}f(x_n)=1.$$

De hecho, dada una secuencia, hay tres posibilidades:

1. $x_n\in\mathbb Q$ $n$ es lo suficientemente grande. Entonces, para algunos $N\in\mathbb N$, $n\geqslant N\implies x_n\in\mathbb Q$. Desde el límite de la secuencia de $\bigl(f(x_n)\bigr)_{n\geqslant N}$ es $1$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=1$.
2. $x_n\in\mathbb{R}\setminus\mathbb Q$ $n$ es lo suficientemente grande. Entonces, para algunos $N\in\mathbb N$, $n\geqslant N\implies x_n\in\mathbb{R}\setminus\mathbb Q$. Desde el límite de la secuencia de $\bigl(f(x_n)\bigr)_{n\geqslant N}$ es $1$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=1$.
3. De lo contrario, deje $N_1=\{n\in\mathbb{N}\,|\,x_n\in\mathbb{Q}\}$ y deje $N_2=\{n\in\mathbb{N}\,|\,x_n\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$. A continuación,$\lim_{n\in N_1}x_n=\lim_{n\in N_2}x_n=1$. Por lo tanto, $\lim_{n\in N_1}f(x_n)=\lim_{n\in N_2}f(x_n)=1$ y, desde $\mathbb{N}=N_1\cup N_2$, $\lim_{n\in\mathbb N}f(x_n)=1$.

Answer 3

Sí, esto es cierto.

Deje $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una secuencia con $\lim_{n \to\infty}=1$. Cada miembro de la secuencia es racional o irracional. En primer lugar, consideramos el caso de que sólo hay un número finito de números racionales. A continuación, $\lim_{n \to \infty}(f(x_n))=f(1)$ es clara. De forma análoga para el caso de que hay sólo un número finito de números irracionales.

Por lo tanto, podemos considerar las dos subsequence $(x_{1_i})$ $(x_{2_r})$ que consisten sólo irracionales y números racionales, respectivamente.

Ahora, vamos a $\varepsilon>0$ ser arbitraria. Como sabemos $f(x_{1_i})\to f(1)$ $f(x_{2_r})\to f(1)$ existe $i_0,r_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$ |f(x_{1_i})-f(1)|<\varepsilon $$ y $$ |f(x_{2_r})-f(1)|<\varepsilon $$ tiene para todos los $i>i_0$ o todos los $r>r_0$ respectivamente.

Por lo tanto, podemos concluir que existe una $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$ |f(x_n)-f(1)|<\varepsilon $$ tiene para todos los $n>n_0$.