Uniformidad ilimitada de operadores lineales

Question

Pregunta: Supongamos que $(T_k)_{k=1}^{\infty}$ es una secuencia lineal invertible operadores en $\mathbb{R}^n$. Supongamos que $\forall x \in \mathbb{R}^{n}\setminus \{0\}$, $$\lim_{k\to\infty} \|T_k x\| = \infty .$$

Deje $\mathbb{S}^{n-1}$ denotar la unidad de la esfera. Luego de lo anterior se sigue que el $$\lim_{k\to \infty} \inf_{x \in \mathbb{S}^{n-1}}\|T_k x\| = \infty? $$

Dicho de otra manera, es la secuencia uniformemente acotada en la unidad de la esfera?

Algunos de mis pensamientos hasta el momento:

(1) Mi pregunta parece casi (pero no del todo) a la inversa de la de Banach-Steinhaus teorema en la situación especial de finito-dimensional espacios vectoriales.

(2) Uniforme ilimitado en la pregunta anterior es equivalente a la convergencia de la secuencia de $$\lim_{k\to\infty} \sup_{x \in \mathbb{S}^{n-1}} \frac{1}{\|T_k x\|} = 0.$$ Si yo pudiera comprobar que la secuencia de $(1/\|T_k x\|)_{n=1}^{\infty}$ ($x$ en la unidad de la esfera) fue uniformemente acotada y equicontinuous, entonces el Arzelà–Ascoli teorema junto con pointwise convergencia de $(1/\|T_k x\|)_{k=1}^{\infty}$ a cero implicaría el resultado.

(3) Dado que estamos trabajando en $\mathbb{R}^n$, para cada una de las $k \in \mathbb{N}$ podemos escribir $T_k$ en términos de su descomposición en valores singulares (SVD): $T_k = U_k \Sigma_k V_k^T$. Si $\|T_k x\|$ no tienden de manera uniforme a $\infty$ en la unidad de la esfera, entonces el más pequeño de los valores singulares de a $\Sigma_k$ tendría que ser delimitada, digamos, por $K > 0$. Denotando por $v_k^n$ la última columna de $V_k$, entonces tenemos que $\forall k: \|T_k v_k^n\| < K$. La compacidad de $\mathbb{S}^{n-1}$ luego me permiten extraer convergente larga de $(v_k^n)_{k=1}^\infty$, pero no estoy seguro de cómo hacer esto útil.

(4) Una interpretación geométrica de mi pregunta es la siguiente. Para cada una de las $k$, la imagen de la unidad de la esfera de $T_k(\mathbb{S}^{n-1})$ es un elipsoide $E_k$. La hipótesis de que la $\forall x \in \mathbb{R}^n\setminus \{0\}: \lim_{k\to \infty} \|T_k x\| = \infty$ implica que para cualquier punto de $x \in \mathbb{S}^{n-1}$, la secuencia de puntos de $T_k x \in E_k$ crece ilimitado en la norma. Parece que la geometría intuitiva para mí que esto sólo puede suceder si la longitud de los más pequeños "semi-eje" de la elipsoides $E_k$ tienden a $\infty$, que es equivalente a decir que el $\lim_{k\to \infty} \inf_{x \in \mathbb{S}^{n-1}}\|T_k x\| = \infty. $ sin Embargo, no he sido capaz de convertir esto en una prueba, y tal vez mi intuición es equivocada.

Por qué me importa: yo estoy leyendo el libro Normalmente Hiperbólico Invariante Colectores en los Sistemas Dinámicos por Stephen Wiggins. En la obtención de la ecuación 3.5, mientras que acredite Lema 3.1.1, él parece ser la afirmación de la validez de la inferencia estoy preguntando acerca de.

Answer 1

Tomar $T_k x = k^2 x_1 -k x_2$. Entonces, para cualquier$x \neq 0$, vemos que$|T_kx| \to \infty$.

Sin embargo,$T_k ({1 \over \sqrt{1 + k^2}}(1,k)) = 0$ para todos$k$.

Answer 2

Considerar el caso $n=2$ y tomar $$T_k = \pmatrix{k^2 \sin(1/k) & k^2 \cos(1/k)\cr 0 & 1\cr}$$ escriba $x \in \mathbb S^1$ $\pmatrix{\cos(\theta)\cr \sin(\theta)}$ y tenga en cuenta que $(T_k x)_1 = k^2 \sin(\theta + 1/k)$. Si se trata de $\sin(\theta) = 0$ $\pm k + O(1)$, mientras que si $\sin(\theta) \ne 0$ es $k^2 \sin(\theta) + O(k)$. Así $|T_k x| \to \infty$ para cualquier $x$. Por otra parte, se limita $$T_k \pmatrix{\cos(-1/k)\cr \sin(-1/k)} = \pmatrix{0 \cr \sin(-1/k)}$ $.