Áreas bajo las gráficas de $\frac{1}{x}$ y $\frac{1}{x^2}$ desde $1$ hasta $\infty$

Question

Una simple evaluación de la integral definida nos dice que el área bajo la gráfica de $[\frac{1}{x}]^2$ desde $1$ hasta $\infty$ es finita, mientras que la de $\frac{1}{x}$ para los mismos límites es infinita.

Cuando observamos las gráficas de estas funciones, podemos ver una similitud impresionante.

Puedo, después de una explicación razonable y concreta en esa dirección, aceptar que ambas tienen un área finita bajo sus gráficas (ya que son asíntotas al eje x) o un área infinita (ya que nunca tocan prácticamente el eje x).

Pero aceptar el hecho de que una está convergiendo y la otra no parece absurdo en este momento. Cualquier intuición es realmente apreciada.

Answer 1

Uno puede recordar que, conforme $M \to +\infty$, tenemos $$ \begin{align} \int_1^M \color{blue}{\frac1{x^2}}\:dx&=\left[ -\frac1x\right]_1^M=1-\color{blue}{\frac1M} \to \color{blue}{1}, \\\\ \int_1^M \color{red}{\frac1{x}}\:\:dx&=\left[ \:\ln x\:\right]_1^M=\color{red}{\ln M} \to \color{red}{+\infty}. \end{align} $$

Así, tu pregunta podría ser equivalente a preguntar:

$$\text{¿Por qué intuitivamente} \, \ln M \to +\infty \, \text{conforme} \, M \to +\infty\,?$$

Aquí es suficiente tomar $M:=2^{N+1}$ y considerar la suma de rectángulos bajo la curva de $\dfrac1x$, obtenemos $$ \int_1^{2^{N+1}} \frac1{x}\:dx=\sum_{n=0}^{N}\int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac1{x}\:dx\geq \sum_{n=0}^{N} \frac{2^{n+1}-{2^n}}{2^{n+1}}=\frac {N+1}2 \to \color{red}{+\infty} $$ conforme $N \to +\infty$.

Answer 2

Tal vez ayudaría considerar que en casos como este, si la integral de una función diverge y una función similar converge, entonces hay algún límite intermedio donde en un lado converge (se hace más pequeña lo suficientemente rápido) y en un lado diverge (no se hace lo suficientemente pequeña rápidamente).

Para las funciones sobre las que preguntaste, considera 1/x^p a medida que p disminuye a 1. La integral de 1 a $\infty$ converge hasta p=1

Oh, y olvidé compartir el artículo de Wikipedia sobre el Cuerno de Gabriel. La idea básica es que aunque el área bajo la curva 1/x diverge, el volumen dentro de su rotación alrededor del eje x converge, pero el área superficial de la rotación diverge. Supongo que eso solo causó más confusión, pero con suerte del tipo divertido.