En su post que sólo demostró que $B = \overline A \cup X \implies A\cap B \subseteq X \subseteq B$, aunque faltan los paréntesis en la expresión de $(\overline A \cap \overline X)\cup \overline A \cup X$.
Después de parenthesizing, su igualdad se mantiene:
\begin{align} (\overline A \cap \overline X)\cup \overline A \cup X &= [\overbrace{(\overline A\cup \overline A)}^{\overline A}\cap \overbrace{(\overline X \cup \overline A)}^{\;\;\supseteq \ \overline A}]\cup X \\
&= \overline A \cup X
\end{align}
Ahora, usted sabe que $B = \overline A \cup X$. Usted puede obtener el inclusiones de esto:
$$ B = \overline A \cup X \implies X \subseteq B \text{ and } \overline A \subseteq B $$
\begin{align}
B = \overline A \cup X \implies A \cap B &= A \cap (\overline A \cup X ) \\
&= \underbrace{(A \cap \overline A)}_{\varnothing} \cup (A \cap X) \\
&= A \cap X
\end{align}
$$ A \cap B = A \cap X \subseteq X \implies A \cap B \subseteq X$$
Por lo tanto, $B = X \cup \overline A \implies A \cap B \subseteq X \subseteq B$.
Lo contrario sólo se mantiene si se supone primero que $\overline A \subseteq B$:
Deje $U=\{1,2,3,4,5\}, A = \{1,2\}, B = \{2,3,4\}$.
A continuación,$A \cap B = \{2\}$, así que podemos aprovechar $X = \{2,4\}$.
Esta $X$ cumple con el requisito de que $A \cap B \subseteq X \subseteq B$, pero $B \neq \overline A \cup X = \{3,4,5\} \cup \{2,4\}=\{2,3,4,5\}$, debido a $5 \notin B$.
Ahora, con esa suposición, vamos a probar a la inversa: Si $\overline A \subseteq B$ $X$ es un conjunto tal que $A \cap B \subseteq X \subseteq B$, $B = X \cup \overline A$
$(\subseteq)$: Vamos a $b \in B$.
Si $b \notin A$,$b \in \overline A$, lo $b \in X \cup \overline A$.
Si $b \in A$, entonces, desde la $b \in B$, $b \in B \cap A \subseteq X \cup \overline A$
$(\supseteq)$: Supongamos $c \in X \cup \overline A$.
Si $c \in \overline A$,$c \in B$, debido a $\overline A \subseteq B$ por supuesto.
Si $c \notin \overline A$,$c \in X$, debido a $c$ está en la unión, y desde $X \subseteq B$ tenemos $c \in B$.
