Minimización de una función, incluyendo los términos cuadráticos y el exponenciales

Question

Disculpas por la pregunta simple. Es posible minimizar analíticamente una función como

$$f(x) = a^x + c x (x-1) \qquad x > 0, \quad 0

Nada más puede decirse sobre el % de constantes $a$o $c$.

Answer 1

Bien, aquí está mi expansión de mi comentario.

Vamos a reorganizar la ecuación en la VFG la respuesta así:

$$\frac{\ln\;a}{2c}=\left(\frac12-x\right)a^{-x}$$

y se multiplican ambos lados por $\sqrt{a}$:

$$\frac{\sqrt{a}\ln\;a}{2c}=\left(\frac12-x\right)a^{\frac12-x}$$

Estamos cerca de un formulario en el que ahora podemos utilizar la función de Lambert, pero vamos a cambiar las bases primera:

$$\frac{\sqrt{a}\ln\;a}{2c}=\left(\frac12-x\right)\exp\left(\frac{\ln\;a}{2}-x\ln\;a\right)$$

Estamos mucho más cerca ahora, por lo que se multiplican ambos lados por un factor de $\ln\;a$

$$\frac{\sqrt{a}(\ln\;a)^2}{2c}=\left(\frac{\ln\;a}{2}-x\ln\;a\right)\exp\left(\frac{\ln\;a}{2}-x\ln\;a\right)$$

y, a continuación, realizar la inversión:

$$W\left(\frac{\sqrt{a}(\ln\;a)^2}{2c}\right)=\frac{\ln\;a}{2}-x\ln\;a$$

que ahora es fácil de resolver para $x$:

$$x=\frac12-\frac1{\ln\;a}W\left(\frac{\sqrt{a}(\ln\;a)^2}{2c}\right)$$

Ahora, la función de Lambert tiene dos ramas $W(z)$ (rama principal) y $W_{-1}(z)$; uno es real,$z\geq-e^{-1}$, y el otro es real sólo en el intervalo de $[-e^{-1},0)$. Si tanto $a$ $c$ están en el intervalo de $(0,1)$, el argumento de la función de Lambert sería mucho mayor que 1, y por lo tanto se puede disponer de la $W_{-1}$ rama, así como considerar la $W(z)$$z\geq 0$, lo cual es cierto para $a$ $c$ en el intervalo de $(0,1)$. Por lo tanto, el Lambert solución con la rama principal es válido.

Answer 2

Creo que no hay solución analítica a $f^{\prime }(x)=0$

$f^{\prime }(x)=2cx-c+\left( \ln a\right) a^{x}$.

Actualización: me no refiero a ninguna solución en funciones elementales.