invierta el orden de integración y evalúe$\int_0^1 \int_{e^y}^e (x/\ln x)\,dx\,dy$

Question

Primer paso, invertí el orden de integración (no estoy seguro si es correcto) de ...$$\int_0^1\int_{e^y}^e \frac x {\ln x} \, dx\,dy$ $ to ...$$\int_0^e \int_{\ln x}^1 \frac x {\ln x} \, dy \, dx$ $

Entonces comencé a evaluar ...

$$\int_0^e \Big[\frac{xy}{\ln x}\Big]_{y=\ln x}^{y=1} \, dx$ $ Conectar me da ...$$\int_0^e \left(\frac x {\ln x} - x\right) \, dx$ $ Ahora me queda una expresión que solo se puede resolver usando la integración por partes. Traté de usar integración por partes, pero sigo atascado. Los recursos en línea no me ayudan. ¿Puede alguien mostrarme cómo evaluar el resto paso a paso?

O si mis pasos son incorrectos, por favor dígame.

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos

$$ \begin{align} \int_0^1\int_{e^y}^e \frac{x}{\log(x)}\,dx\,dy&=\int_1^e \frac{x}{\log(x)} \int_0^{\log(x)}(1) \,dy\,dx\\\\ &=\int_1^e x\,dx\\\\ &=\frac12(e^2-1) \end {align} $$

Answer 2

\begin{align} \int_0^1 \left( \int_{e^y}^e \frac x {\ln x} \, dx \right) dy = \int_1^e \left( \int_0^{\ln x} \frac x {\ln x} \, dy \right) dx \end{align} Ha $e^y \le x\le e.$, Pero que implica $y\le\ln x.$, de Modo que usted no puede tener $y$, al pasar de $\ln x$ $1.$ El par $(x,y)$ se encuentra en un lado de la curva de $x = e^y$ o $\ln x = y,$ y ese lado es donde $e^y\le x$ o $y \le \ln x.$

Dibujar la gráfica, que muestra la región sobre la cual se está integrando, y ver dónde están los límites, y que va a dejar claro lo que los límites deben ser.

Observe que en $\displaystyle \int_0^{\ln x} \frac x {\ln x} \, dy,$ la función de $\dfrac x {\ln x}$ no cambia como $y$ $0$ $\ln x.$Que hace que la evaluación de la integral muy fácil.