sigma álgebra y variable aleatoria correspondiente

Question

Sabemos que para un espacio de probabilidad$(X,F,\mu)$, si X es una variable aleatoria, entonces$\sigma(X)$ es un subconjunto de F.
Pero mi pregunta tiene un álgebra sigma$\tilde{F} \subset F$, ¿podemos encontrar un rv X, st$\sigma(X) = \tilde{F}$? si no es verdad siempre, ¿bajo qué condiciones es verdad?

Answer 1

Aquí hay un ejemplo cuando no es verdad:

Deje$X=\mathbb{R}$,$\mathcal{F} = 2^{\mathbb{R}}$ y$\mu = \delta_0$. Luego, para cualquier rv$Z$, los conjuntos crean sigma álgebra$\sigma(Z)$ como$Z^{-1}([a,b])$ donde$a, b$ puede ser finito o infinito. Es bien sabido que este álgebra sigma tiene cardinalidad del continuo, por lo que no puede ser igual a$2^{\mathbb{R}}.$ Take$\tilde{\mathcal{F}} = \mathcal{F}$, entonces podemos 'encontrar un rv$Z$ tal que$\sigma(Z) = \tilde{\mathcal{F}}$.

Answer 2

Tenga en cuenta que si$X$ es una variable aleatoria, entonces$\sigma(X)=\sigma(X^{-1}((a,b)), a,b\in\mathbb Q)$, por lo tanto$\sigma(X)$ se genera de forma contable, es decir, hay una colección de conjuntos$(A_i)_{i\in\mathbb N}$ tal que$\sigma(X)=\sigma(A_i,i\in\mathbb N)$

Por el contrario, si$\mathcal F'$ es un% generado por generación$\sigma$ - álgebra, digamos por$(A_i)_{i\in\mathbb N}$, luego defina$$X:=\sum_{i\in\mathbb N}3^{-i}\chi(A_i).$ $ Tenemos$\sigma(A_i)=\sigma(X)$.

La respuesta de Petite Etincelle da un ejemplo de$\sigma$ - álgebra que no se genera de forma contable.