Bola cerrada no un múltiple.

Question

Mi libro sobre geometría diferencial afirma que una bola cerrada en $\Bbb R^n$ nunca puede ser un múltiple diferenciable debido a los puntos de frontera. El libro realmente no da una explicación de por qué esto es cierto. ¿Podría alguien proporcionar más detalles por favor? Gracias

Answer 1

Los puntos en la frontera sólo han barrios homeomórficos a abrir una pelota en $$\Bbb R^n_+ = \{(x_1, \dots, x_n) \in \Bbb R^n : x_1 \geq 0\}$$ centrada en el límite. Dicho conjunto no es abierto en todos los de $\Bbb R^n$.

Por ejemplo, considere la bola unidad cerrada $[-1, 1]$$\Bbb R$. Entonces cualquier barrio de $1$ tiene un componente conectado de la forma $(1 - \varepsilon, 1]$, que no está abierto en el $\Bbb R$. Pero la definición de una $n$-colector requiere que cada punto tiene un barrio homeomórficos a un abierto de establecer en $\Bbb R^n$; por lo tanto, $[-1,1]$ no puede ser un colector en el sentido usual de la palabra.

El cerrado de la bola en $\Bbb R^n$ es un ejemplo de un manifold con frontera.

Answer 2

un colector es diferenciable, si existe un atlas para él. el atlas contiene gráficos compatibles (que llamamos el par $(U,f : U →R^n)$ una carta, $U$ una vecindad coordenada o coordenada conjunto abierto y $f$ un mapa de coordenadas o un sistema de coordenadas U. f es un Homeomorfismo sobre un subconjunto abierto de $R^n$)

para los puntos frontera no podemos definir un gráfico (como definición antedicha) porque barrios de estos puntos no están homeomorfa a un subconjunto abierto de $R^n$.