Hay comprensiva de textos que discuten QM uso de la noción de manipulado de Hilbert espacios? Sería agradable si había un texto que fue a través de la norma QM ejemplos de utilización de esta estructura.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No sé de ningún libro que el uso de este lenguaje exclusivamente, pero la idea básica es bastante sencilla:
Todos los espacios de Hilbert son isomorfos (si sus dimensiones se adaptan). Esto presentaría problemas conceptuales en la mecánica cuántica, si alguna vez hemos hablado sobre el espacio de Hilbert solo; ¿cómo podemos distinguirlos? Pero está bien porque estamos realmente interesados en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ equipada con un álgebra de operadores de $\mathcal{A}$.
Por ejemplo, la diferencia real entre el $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$: Cuando hablamos de la antigua, estamos hablando de $L^2(\mathbb{R})$ con la acción natural de la 1d de Heisenberg álgebra $\mathcal{A}_1$ (generados por $P$ $Q$ tal que $[Q,P] = i\hbar$). Cuando hablamos de este último, vamos a hablar sobre el espacio de Hilbert con la acción natural de la 3d Heisenberg álgebra $\mathcal{A}_3$.
Ni álgebra actúa sobre la totalidad de $\mathcal{H}$. $(Q\psi)(x)= x\psi(x)$ no necesariamente se encuentran en $L^2$. Del mismo modo, la acción de la diferenciación operador $P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ en un vector $v \in \mathcal{H}$ no está definido si $v$ no es una función derivable. Y $P^2$ sólo está definida en dos veces-funciones diferenciables. Sin embargo, hay algunas funciones en las que la acción de cualquier poder $P^nQ^m$ se define: Si $v$ y todos sus derivados se desvanecen más rápido en el infinito que cualquier polinomio, la acción de cualquier elemento de $\mathcal{A}_1$ está definido. Asimismo, $\mathcal{A}_3$ realmente actúa sobre el conjunto de $\mathcal{S}$ de las funciones en $L^2(\mathbb{R}^3)$ cuyas derivadas parciales de todos se desvanecen lo suficientemente rápido en el infinito.
En general, si usted tiene un espacio de Hilbert y un álgebra $\mathcal{A}$ de los operadores con espectro continuo, hay una máxima en el subespacio $\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$ que $\mathcal{A}$ actos. Este es el subespacio de $v \in \mathcal{H}$ que $av$ está definido y $||a v|| < \infty$ cualquier $a \in \mathcal{A}$. Es llamado el espacio de suave vectores para $\mathcal{A}$. (Ejercicio: $\mathcal{S}$ es denso en $\mathcal{H}$.)
$\mathcal{S}$ presenta una topología de ser un subespacio de $\mathcal{H}$, pero en realidad tiene mucho más fuerte de la topología de la familia de seminorms $v \mapsto ||a v||$ ( $a \in \mathcal{A}$ ). Esta topología hace un nucleares espacio vectorial.
Dado $\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$, se puede construir el espacio de $\mathcal{S}^* \supset \mathcal{H}$ de continuo (wrt nuclear topología) complejo-lineal lineal funcionales en $\mathcal{S}$. (Aquí estamos usando la representación de Riesz el teorema de identificar a $\mathcal{H}$ con su doble $\mathcal{H}^*$.) Este espacio debe ser pensado como el espacio de bras, en la Dirac bra-ket sentido. El bra $\langle x |$ es la función lineal que los mapas de $\psi \in \mathcal{S}$$\psi(x) =\langle x | \psi \rangle $, es decir, la función delta de Dirac $\delta_x$ con apoyo en $x$. (El espacio de las tfe es el conjugado del espacio, que consta de conjugado-lineal funcionales en $\mathcal{S}$. El ket $|x \rangle$ mapas de un estado $\psi \in \mathcal{S}$$\psi^*(x) = \langle \psi| x\rangle$.)
Este espacio $\mathcal{S}$ es que vale la pena considerar, porque da riguroso sentido a la idea de que los elementos de $\mathcal{A}$ con espectro continuo tiene vectores propios, y que se puede expandir algunos estados en estos eigenbases. Los elementos del álgebra $\mathcal{A}$ no tiene vectores propios en $\mathcal{H}$ si tienen espectro continuo. Pero tienen vectores propios en el espacio de bras. La definición es una extensión estándar-por-la dualidad truco: $v \in \mathcal{S}^*$ es un autovector de a $a \in \mathcal{A}$ con autovalor $\lambda$ si $(av)(\psi) = \lambda v(a^*\psi)$ todos los $\psi \in \mathcal{S}$. (Ejercicio: $\langle x|$ es el eigenbra con autovalores $x$ de la posición de operador de $Q$.)
El triplete $(\mathcal{S}, \mathcal{H}, \mathcal{S}^*)$ es un amañado espacio de Hilbert. El lenguaje de la aparejado espacios de Hilbert fue inventado para capturar las ideas que he descrito anteriormente: el buen vectores de un álgebra de operadores con espectro continuo, y el doble de espacio vectorial, donde el eigenbases de estos operadores en vivo. El lenguaje en realidad coincide con el de la física muy bien, en especial con los bra-ket formalismo, pero ofrece un nivel de precisión que en realidad no es necesario para la mayoría de los cálculos (por ejemplo, con aritmética de punto flotante).
