Una referencia para una desigualdad gaussiana ($\mathbb{E} \max_i X_i$)

Question

Estoy buscando una referencia para citar, para el siguiente "folclore" comportamiento asintótico de un máximo de $n$ independiente Gaussiano con un valor real variables aleatorias $X_1,\dots, X_n\sim \mathcal{N}(0,\sigma)$ (media de $0$ y la varianza $\sigma^2$): $$ \mathbb{E} \max_i X_i = \sigma\left(\tau\sqrt{\log n}+\Theta(1)\right) $$ (donde, si no me equivoco, $\tau=\sqrt{2}$). He estado señaló un libro de referencia de Ledoux y Talagrand [1], pero no puedo ver el satement "out-of-the-box" allí-sólo los resultados que ayudan a derivar.

Gracias,

-- Clément

[1] http://www.springer.com/mathematics/probability/book/978-3-642-08087-6

Answer 1

Yo eventally encontrado estas dos referencias:

• a partir de [1]: el valor esperado de un máximo de $N$ estándar independiente de Gaussianas: Teorema 2.5 y el Ejercicio 2.17, p. 49; para una concentración de resultado, combinado con la varianza (que es $O(1)$). Ejercicio 3.24 (o Teorema 5.8 directamente de la concentración de la desigualdad).
• a partir de [2], Teorema 3.12

[1] la Concentración de las Desigualdades: Un Nonasymptotic Teoría de la Independencia Por Stéphane Boucheron, Gábor Lugosi, Pascal Massart (2013)

[2] la Concentración de las Desigualdades y de Selección de Modelo, por Pascal Massart (2003)

Answer 2

Usted tiene un resultado asintótico explícito sobre la distribución límite en este post y las referencias asociadas.