Defina la secuencia$a_n$ por lo siguiente.
ps
ps
$$a_0 = 1, a_1 = 4,$ para $$a_{n + 2}=3 a_{n + 1} - a_{n}$.
¿Hay algún número$a_n ≠ 0 \mod (2n + 1)$ tal que$1 \le n \le 10^5 $?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No, No hay otros. Usted tiene el original de Lucas números de índice impar. El dispositivo de uso $2n+1$ significa que se preguntan acerca de la Lucas números divisibles por su índice, ver https://oeis.org/A016089 parece Que esto queda demostrado en el artículo de Noam menciona, (en cualquier caso, es en los Ejemplos) con más fáciles de leer en la Fábrica. Los dos libros con artículos de Somer fueron editado por Gerald E. Bergum, Andreas N. Philippou, y A. F. Horadam.
Hay un montón de incluso los índices que dividir el número Lucas, pero el único extraño es $1$ sí.
Tenga en cuenta que $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ da $L_{n+1} = L_{n+2} - L_n,$ $$ L_{n+3} = L_{n+2} + L_{n+1} = L_{n+2} + L_{n+2} - L_n = 2 L_{n+2} - L_n , $$ $$ L_{n+4} = L_{n+3} + L_{n+2} = 2 L_{n+2} - L_n +L_{n+2} = 3 L_{n+2} - L_n. $$
Fly_NighT
Puntos
96
PISTA: la Solución de la diferencia de la ecuación (uso de la transformada en Z): $$ a_{n+2} = 3 a_{n+1} - a_n \quad\Rightarrow\quad a_n = \left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^n c_1 + \left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^n c_2 $$ Por las condiciones de $a_0 = 1$$a_1 = 4$: $$ \begin{align} c_1 + c_2 &= 1 \\ \left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right) c_1 + \left( \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right) c_2&= 4 \end{align} $$ $$ \, por tanto \quad c_1 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \quad c_2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} $$ Por lo tanto: $$ \begin{align} a_n &= \left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^n \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) + \left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^n \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \\ \end{align} $$ Tal vez esto puede ayudar un poco, ya que se le pone en la comprensión de la estructura de los números a los que desea probar.
