Secuencia recursiva de raíces cuadradas de elementos anteriores

Question

Bruckner, Bruckner, Thompson - Elementary Real Analysis

$a_1 = 1$ y$a_{n+1} = \sqrt{a_1+ a_2 + .. + a_n}$

Muestre que$$\lim_{n \to \infty}\ \frac{a_n}{n} = \frac12$ $

No puedo desentrañar la raíz cuadrada de la suma, para mostrar que 'converge' a$\frac{n}2$. Cualquier ayuda muy apreciada.

Answer 1

Podemos probar primero que:$$ a_{n+1}^2 = a_{n}^2 + a_{n}\leq \left(a_n+\frac{1}{2}\right)^2 \tag{1}$ $ de lo cual se deduce que$\{a_n\}_{n\geq 1}$ está aumentando y$a_n\leq \frac{n+1}{2}$. $(1)$ también da:$$ a_{n+1}-a_n = \frac{a_n}{a_n+a_{n+1}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_n+a_{n+1}}\right)\tag{2} $ $ pero como$a_{n+1}-a_n\leq\frac{1}{2}$, la línea anterior da:$$ a_{n+1}-a_n \geq \frac{1}{2}-\frac{1}{4(a_n+a_{n+1})}\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{8a_n} \tag{3}$ $ y podemos verificar por inducción que:$$ a_n \geq \frac{n+1}{2}-\frac{\log(n+1)}{4}.\tag{4}$ $ Al apretar, se deduce que:$$ \lim_{n\to +\infty}\frac{a_n}{n}=\color{red}{\frac{1}{2}}.\tag{5}$ $

Answer 2

Sugerencia use stolz$$I=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n}=\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_{n})$ $ y Note$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=a^2_{n+1}-a^2_{n}$ $

entonces$$a_{n+1}=\sqrt{a^2_{n}+a_{n}}$ $ no es fácil de probar$a_{n}\to+\infty,n\to\infty$ así que$$I=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{a^2_{n}+a_{n}}-a_{n})=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)=\dfrac{1}{2}$ $