Para la primera parte, sí, esto se desprende de Cauchy-Schwarz. Deje $v=(1,1,\ldots,1)$. Por CS, $|x\cdot v|\leq \|v\| \|x\|=\sqrt{n}\|x\|$, con igualdad si y sólo si $x=\lambda v$ algunos $\lambda$. Ahora tenga en cuenta que uno de los términos que se trata es simplemente la longitud de $x$, y el otro es $x\cdot v$. La combinación de esta observación, con lo que ya tenemos, vemos a $\psi(x)=0$ si y sólo si $x$ es un múltiplo de a $v$.
Para la segunda pregunta, queremos determinar cuándo $\psi(x)=1$ (N. B., creo que la definición debe ser
$$\psi(\textbf{x}) = \frac{\sqrt{n}-\frac{\left(\sum_{i} \left|x_i \right| \right)}{\sqrt{\sum_{i} x_{i}^{2}}}}{\sqrt{n}-1}$$
ya que permitiría garantizar la escasez es siempre entre el$0$$1$. Voy a hacer esta suposición en lo que sigue. Tenga en cuenta que sin este cambio, la $\psi(-v)$ es mayor que 2, cuando objetivamente, es igual de onu-dispersos $v$).
Por el trabajo que han hecho por encima de $\psi(x)=1$ si y sólo si $|x \cdot v|=\|x\|$. Dividiendo $x$$\|x\|$, podemos asumir que $x$ es un vector unitario. Por otra parte, por el cambio que he realizado para la definición, podemos asumir que cada coordenada de $x$ es no negativo, que es $x\cdot e_i\geq 0$ todos los $i$. Queremos demostrar que esto implica que $1\leq x\cdot v$, con igualdad si y sólo si $x=e_i$ algunos $i$.
Por desgracia, yo no conozco a ninguna mancha de la prueba. La mejor que se me ocurre es reducir las cosas a las 2 dimensiones de caso, que es fácil de probar con el cálculo (o de la geometría, si usted está tan inclinado).
En primer lugar, para el caso de dos variables: queremos mostrar que si $(x,y)$ está en el primer cuadrante de algunas círculo centrado en el origen, a continuación, $x+y$ es minimizado cuando una de las coordenadas es $0$. Esto se deduce de la convexidad del círculo, pero hay un montón de otras pruebas.
Para el caso general, se asume que $\|x\|=1$, $x\cdot e_i\geq 0$ para todos los $i$. Si estamos tratando de minimizar $x\cdot v$ y hay dos a cero de las coordenadas, decir $x_i$$x_j$, entonces podemos encontrar reducir aún más el $x\cdot v$ mediante la sustitución de una de las coordenadas con $\sqrt{x_i^2+x_j^2}$ y el otro con $0$. Por lo tanto, es necesario que todos, pero una de las coordenadas ser cero, por lo $x=e_i$ algunos $i$. Sin embargo, $e_i\cdot v=1$, y así todos ellos son mínimos.
