Representación de un número como una suma de cuadrados.

Question

Hubo un debate sobre esta representación. Determinar el número de formas en que un número se puede escribir como suma de tres cuadrados

Yo estaba interesado en un hecho curioso. Para resolver esta ecuación.

$$N=x_1^2+x_2^2+x_3^2=x_4^2+x_5^2+x_6^2=x_7^2+x_8^2+x_9^2=x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2$$

Hay un número de, al $3$ de la plaza se $4$ maneras. La fórmula de la parametrización cuando miró resultó que es posible encontrar un número de 3 plazas puede estar presente en muchas ocasiones.

Cuando miró a la suma de dos cuadrados, también hay.

$$N=x_{1,1}^2+x_{1,2}^2=x_{2,1}^2+x_{2,2}^2=....=x_{i,1}^2+x_{i,2}^2$$

$i-$ el número de opciones puede ser indefinidamente grande. Siempre se puede encontrar un número que será la solución.

Este es el papel de $2, 3,$ o más términos. En una visión más General.....

$$N=x_{1,1}^2+x_{1,2}^2+...+x_{1,j}^2=....=x_{i,1}^2+x_{i,2}^2+...+x_{i,j}^2$$

Para cualquier $i,j - $ siempre se puede encontrar el número General y de una infinidad de soluciones.

La pregunta es. Sólo es posible obtener soluciones con un número arbitrariamente grande,$i$? O tal vez hay otras formas en las que el mismo observado?

Answer 1

Resultó el siguiente. Para una forma cuadrada

$$N=a_1x_{1,1}^2+a_2x_{1,2}^2+...+a_{j}x_{1,j}^2=......=a_1x_{i,1}^2+a_2x_{i,2}^2+a_{j}x_{i,j}^2$$

Si cualquier número de opciones de $i,j$ y cualquier coeficientes de $a_{j}$. Soluciones siempre está ahí.

Ilustrar $2$ de los coeficientes. Del mismo modo resuelto si el número de factores diferentes. Que era evidente simetría y no confundirse, es mejor tomar $3$ ecuación.

$$ax_1^2+bx_2^2=ax_3^2+bx_4^2=ax_5^2+bx_6^2$$

La solución es fácil escribir.

$$x_1=t(bp^2+ak^2)(bs^2+ak^2)$$

$$x_2=y(bp^2+ak^2)(bs^2+ak^2)$$

$$x_3=((bp^2-ak^2)t-2bpky)(bs^2+ak^2)$$

$$x_4=((bp^2-ak^2)y+2apkt)(bs^2+ak^2)$$

$$x_5=((bs^2-ak^2)t-2bsky)(bp^2+ak^2)$$

$$x_6=((bs^2-ak^2)y+2askt)(bp^2+ak^2)$$

Aquí la representación de las 3 opciones, pero es fácil ver que puede ser escrita en la forma de una combinación con cualquier número de opciones.