¿Es una base integral $\{e_i\}$ $\mathcal O_K$ bajo la acción de $\mu\in Gal(K/\mathbb Q)$ también una base integral?

Question

Que $K$ sea una extensión de $\mathbb Q$. $\mathcal O_K$ es el conjunto de todos los elementos de $K$ integral $\mathbb Z$.

Ahora Supongamos que $[K:\mathbb Q]=m$ y ${ei}{i=1}^m$ es una base integral de $\mathcal O_K$. Que $\mu\in Gal(K/\mathbb Q)$ y ${\mu (ei)}{i=1}^n$ son las imágenes de ${ei}{i=1}^m$ bajo la acción de $\mu$.

¿Ahora estoy en duda si ${\mu (ei)}{i=1}^n$ también son una base integral de $\mathcal O_K$?

¿Alguien sabe la respuesta?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El anillo $\mathcal O_K$ es estable bajo $Gal(K/\mathbb Q)$, como se comprueba fácilmente. Así $\mu$ es un automorfismo de $\mathcal O_K$ (como un anillo y en particular como un módulo de % de $\mathbb Z$). La respuesta a tu pregunta ahora se ve que sí, puesto que cualquier automorfismo de un # gratis $\mathbb Z$-módulo tendrá una base a otra base.