Empezando por lo siguiente.
Si $g$ es un elemento primitivo de un campo finito, entonces la multiplicación por $g$ lleva un cuadrado no nulo a un no cuadrado no nulo y viceversa.
Así que si podemos representar $0$ como una suma de dos no cuadrados, entonces la multiplicación por $g$ muestra que $0$ también puede escribirse como una suma de dos cuadrados: $$ 0=a^2+b^2. $$ Esto implica que $-b^2=a^2$ y a fortiori que $-1=(a/b)^2$ es un cuadrado. Se sabe que este es el caso en $\Bbb{F}_q$ si y sólo si $q\equiv1\pmod4$ .
En consecuencia:
Existen campos finitos arbitrariamente grandes tales que el elemento $0$ no puede escribirse como una suma de dos no cuadrados de ese campo. Más concretamente, esto ocurre en el campo $\Bbb{F}_q$ siempre que $q\equiv-1\pmod4$ .
Un resultado más interesante es que cualquier elemento no nulo $z$ de un campo finito $\Bbb{F}_q$ , $q$ y el número impar $>5$ se puede escribir como una suma de dos no cuadrados. Esto se puede ver de la siguiente manera.
Supongamos primero que $z$ es un cuadrado. Entonces $g^{-1}z$ es un no cuadrado. Por el conocido resultado podemos escribirlo como una suma de dos cuadrados $$ g^{-1}z=x^2+y^2. $$ Porque $g^{-1}z$ es un no cuadrado, podemos deducir que $x$ y $y$ deben ser ambos distintos de cero. Esto significa que los elementos $gx^2,gy^2$ son ambos no cuadrados, y $$ z=gx^2+gy^2 $$ es una presentación del tipo requerido.
Si $z=ga^2$ es un no-cuadrado entonces necesitamos el resultado (ver por ejemplo Irlanda y Rosen) de que la ecuación $$ x^2+y^2=1\qquad(*) $$ tiene $q-\eta(-1)$ soluciones (aquí $\eta$ es el único carácter multiplicativo de orden dos, por lo que es igual al símbolo de Legendre en el caso de un campo primo). La ecuación $(*)$ equivale a $$ a^2x^2+a^2y^2=a^2, $$ por lo que la ecuación $x^2+y^2=a^2$ también tiene $q-\eta(-1)\ge q-1$ soluciones. Como máximo $4$ de esas soluciones tienen $x=0$ o $y=0$ . Así que si $q>5$ entonces tenemos garantizada la existencia de elementos $x\neq0\neq y$ tal que $g^{-1}z=a^2=x^2+y^2$ . De nuevo, se deduce que $$ z=gx^2+gy^2 $$ es una presentación de $z$ como una suma de dos no cuadrados.
El propio OP señaló que en los campos de $3$ o $5$ elementos hay muy pocos no cuadrados. Por ejemplo, en $\Bbb{F}_5$ los únicos no cuadrados son $2$ y $3$ y no podemos escribir ninguno de ellos como sumas de dos no cuadrados.
Para el caso de los campos primos la elegante solución de Mikhail Ivanov es seguramente mejor que este argumento.
