Geodésicas en un poliedro

Question

¿Qué secuencias de bordes adyacentes de un poliedro podrían considerarse geodésicas? Los bordes de una cara seguramente no, pero el "ecuador" del octaedro eventualmente lo hará. Pero, ¿por qué? ¿Cómo se aplica la propiedad de definición de una geodésica, con curvatura geodésica cero, a una secuencia de aristas?

(Una suposición burda: ¿alguna secuencia de aristas que por parejas no comparten una cara? ¿Qué tiene esto que ver con la curvatura?)

Answer 1

Lo que ocurre es que me llamaron la "ecuador de un dodecaedro" para uno de mis artículos, así que no me puedo resistir, incluyendo aquí:
          

Dos puntos que me gustaría hacer. En primer lugar, una geodésica es una curva que ha $\le \pi$ de la superficie a cada lado en cada punto. Este es Alexandrov la definición, y es la manera correcta de pensar de geodesics en poliedros. Él y Pogorelov llamado a estos quasigeodesics (Alexandrov y Zalgaller, Geometría Intrínseca de las Superficies, 1967, pág.16; Pogorelov, Extrínseca de la Geometría de las Superficies Convexas, 1973, pág.28).

En segundo lugar, si usted permite una doble cubierta polígono como un poliedro de volumen cero (como Alexandrov hizo), entonces los bordes de una cara podría ser una geodésica: considere la posibilidad de una doble cubierta de la plaza, por ejemplo. Entonces los bordes de una cara cuadrada tiene $\pi$ en todo el interior de borde de puntos a cada lado, y $\pi/2$ a cada lado en las cuatro esquinas.

Answer 2

Algunos pensamientos son dadas por Konrad Polthier y Markus Schmies, más recta geodesics en superficies poliédricas. Forma el resumen:

Geodésica curvas son el concepto fundamental de la geometría, a generalizar la idea de líneas rectas, curvas, superficies y arbitraria de los colectores. En superficies poliédricas introducimos la noción de discretos geodésico de curvatura de las curvas y definir más rectas geodesics. Esto permite que una única solución del problema de valor inicial para geodesics, y por lo tanto un único movimiento en una dirección tangencial, una propiedad no disponible en el conocido concepto de local menor geodesics.

Answer 3

Parece casi trivial definición (que se basa en un determinado realización de un poliedro): si el poliedro es convexo y se inscriben dentro de una esfera y la central de las proyecciones de los bordes en la esfera de la suma hasta un gran arco o un círculo, a continuación, los bordes son geodésica. (Tenga en cuenta que cada una ventaja única que se proyecta en una sola gran arco.)

Debido a esta definición, es obvio que "ecuadores" de la octaedro regular son geodésica, pero también en los bordes de cualquier cara de cualquier grabables poliedro puede ser geodésica (en un determinado realización). Por otro lado, algunas de las secuencias de los bordes puede ser - en la no realización de la poliedro - geodésica debido a esta definición, por ejemplo, el zig-zag de la secuencia de todo el "ecuador" de la dodecaedro (?).

Permanece abierto, si hay un más combinatoria definición de geodesics, dicen en un poliédrica gráfico.