Conjugados de las normas

Question

Cómo uno encontrar el conjugado de los siguientes: $$f(x) = |x|^2 /2$ $ la función conjugada se define como el $ f^*(y) = \max_x y^Tx - f(x)$

Estoy atrapado en lo puedo derivar la forma explícita de $x$.

Hasta ahora, aquí están mis pasos:

Para aprovechar al máximo yo tomar el derivado de y $0$.

$$f'(x) = y - \partial|x| \cdot |x| = 0$$

$$\partial|x| = y/|x| $$

Edit: $|x|$ es cualquier norma aquí. No sólo el 2-norm.

¿A dónde voy de aquí?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\nabla f(x) = x$. Cuando se establece el gradiente igual a $0$, te, % o $y - x = 0$ $x = y$. Así $f^*(y) = y^T y - |y|^2/2 = |y|^2/2$.

Answer 2

Este problema se puede resolver completando los cuadrados.

$$f^{∗}(y)=\max_x y^Tx−f(x)$ $$$f^{∗}(y)=\max_x ( y^Tx−||x||^2/2)$ $$$f^{∗}(y)=\max_x (y^Tx−||x||^2/2 - ||y||^2/2 + ||y||^2/2)$ $$$f^{∗}(y)=\max_x (||y||^2/2 - (x-y)^2/2)$ $ trivially,$f^{∗}(y)= ||y||^2/2$.