En subgrupos de un grupo

Question

Sabemos que si $G$ es un grupo finito, entonces todos los subgrupos de $G$ son finitos y los subgrupos número de $G$ es finito. Ahora

¿1) si todos los subgrupos correcta $G$ son finitos, entonces es $G$ finito?

¿2) si los subgrupos número de $G$ es finito, entonces es $G$ finito?

Gracias

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es no. Un abelian ejemplo está dado por el Prüfer grupo de tipo $p$. Puede ser demostrado que tiene precisamente uno de los subgrupos de cada orden de $p^k$, y no otros (aparte de la trivial). De hecho, para el abelian caso de que esto cubre todos los casos, ya que puede ser demostrado que el si $G$ es infinito abelian todos de cuya adecuada subgrupos son finitos, a continuación, $G$ debe ser Prüfer de tipo $p$.

En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es sí. Vamos a mostrar que si $G$ es infinito, entonces debe de haber una infinidad de subgrupos. Si $G$ tiene un elemento $g$ de infinito orden, a continuación, $<g>$ es isomorfo a $\mathbb Z$ que tiene infinitamente muchos subgrupos y por lo $G$ tiene infinitamente muchos subgrupos y hemos terminado. Así se puede continuar bajo el supuesto de que $G$ no tiene ningún elemento de orden infinito. Deje $g_1$ ser algunos no trivial elemento en $G$ y deje $G_1=<g_1>$. Es un subgrupo finito (por nuestra suposición) y por tanto hay algo de $g_2 \in G$ que no está en $G_1$. Deje $G_2=<g_2>$. Es finito y distinto a $G_1$. Así que hay algo de $g_3\in G$ no $G_1\cup G_2$. Deje $G_3=<g_3>$ y así sucesivamente. Un poco más formalmente, supongamos que hemos encontrado $n$ diferentes subgrupos $G_1,\cdots ,G_n$$G$. Cada uno debe ser finito, y por lo que hay algunos $h\notin G_1\cup \cdots \cup G_n$. Deje $G_{n+1}=<h>$, que es lo que otro subgrupo. Así que hay infinitamente muchos subgrupos.

Answer 2

Creo que, el primero de ellos está mal. Suficiente para considerar $G=\mathbb Z(p^{\infty})$. Este grupo es infinito, cada uno de cuyos subgrupos apropiados es finito y también cíclico.

Answer 3

Creo que el grupo de Prüfer sirve como contraejemplo para 1, permítanme intento 2:

Suponga $G$ es infinito, por lo tanto, contiene al menos un conteo del número de elementos. Deje $g_i$ ser estos elementos. Mira a continuación en $(g_i)$, los subgrupos generados por la $g_i$. Si todos estos subgrupos son finitos, entonces hay un número infinito de subgrupos, independientemente de si hay o no $(g_i) = (g_j)$$i \neq j$. Si uno solo de estos subgrupos son infinitos, entonces es isomporphic a $\mathbb{Z}$, que tiene un número infinito de subgrupos. Por lo tanto, 2 es verdadera.