Encuentra el punto medio entre dos puntos en el círculo

Question

Quiero colocar un nuevo punto en el medio de los dos puntos que están en el contorno del círculo (Arco). Tengo las coordenadas $(x, y)$ del centro del círculo, los dos puntos rojos y el radio del círculo. Quiero encontrar las coordenadas del punto medio del Arco. ¿Existe una fórmula para esto?

Ejemplo: Quiero las coordenadas del punto medio entre las dos líneas rojas.

Answer 1

Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que el círculo está centrado en O(0, 0) con radio = r.

Por lo tanto, la ecuación del círculo es $x^2 + y^2 = r^2$

M(p, q) es un punto en este círculo implica $p^2 + q^2 = r^2$ ……… (1)

Por la fórmula del punto medio, $N(r, s) = N(\dfrac {x_1 + x_2}{2}, \dfrac {y_1+ y_2}{2})$

N(r, s) es un punto en OK, la línea perpendicular a $P_1P_2$. Por la forma de dos puntos, la ecuación de OK es

$y = \dfrac {y_1 + y_2}{x_1 + x_2}x$

M(p, q) también es un punto en OK. Por lo tanto,

$q = \dfrac {y_1 + y_2}{x_1 + x_2}p$ ………. (2)

Resolver (1) y (2) te dará $p = ± r \dfrac {x_1 + x_2}{\sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2}}$

El ‘±’ proporciona dos conjuntos de respuestas para (p de M) y (p’ de M’) como se muestra.

Los valores correspondientes de q se pueden encontrar a través de (2).

Elegir el M(p, q) correcto es otra historia.

Answer 2

El punto se encuentra tanto en el círculo como en la mediatriz perpendicular del segmento que conecta los puntos, por lo que el punto medio del arco menor se encuentra en el radio que pasa por el punto medio de la sección.

Al hacer la traslación, podemos asumir que el círculo (que tiene un radio, digamos, $r$) está centrado en $(0, 0)$. Ahora, el punto medio de ese segmento es $(\bar x, \bar y) = \frac{1}{2} (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$, y por lo tanto el punto medio a lo largo del arco es

$$\frac{r}{\sqrt{\bar x^2 + \bar y^2}} (\bar x, \bar y) \textrm{.}$$

Hay que tener en cuenta que esta fórmula falla cuando el punto medio es $(0, 0)$, lo cual ocurre precisamente cuando los dos puntos rojos en el círculo son antipodales, es decir, cuando son puntos finales de un diámetro---y en ese caso el punto medio del arco menor no está definido.

Answer 3

Puedes hacer un sistema de dos ecuaciones y resolver para los valores de coordenadas de tu nuevo punto. Una ecuación es que la distancia entre tu nuevo punto y el centro sea igual al radio. (Así que necesitas saber la fórmula para la distancia). La otra ecuación es que la distancia entre tu nuevo punto y un punto rojo sea igual a la distancia entre tu nuevo punto y el otro punto rojo.

Establecer estas ecuaciones y resolverlas te dará dos posibles puntos en lados opuestos del círculo. El que esté más cercano a tus dos puntos rojos probablemente sea el que deseas.

Answer 4

La línea perpendicular a $AB$ que pasa por $O$ te da las dos soluciones. Si $O=(0,0)$ (por simplicidad), $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, esta línea está dada por $(x,y)=(t\cdot(y_B-y_A), t\cdot (x_A-x_B))$. Necesitas elegir $t$ de manera que la distancia desde $O$ se convierta en el radio $r$, es decir, $t=\pm\frac{r}{\sqrt{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}}$.

Answer 5

Un método: - Encontrar el punto medio lineal entre los dos puntos - Encontrar la longitud del vector entre el centro del círculo y este punto medio - Normalizar y escalar este vector al radio del círculo