Umbralización dura de una matriz de covarianza

Question

Soy nuevo en el concepto de umbralizar una matriz de varianza-covarianza y tengo problemas para entender el proceso exacto. Estoy siguiendo Bickel y Levina (2008) en la elección de un umbral duro. Lo que me preocupa es su ecuación número (3) para el operador de umbral:

$$T_{s}(M) = [m_{ij}1(|m_{ij}| \ge s)]$$

Mi interpretación de esa ecuación es que la operación de umbralización se aplica a los elementos diagonales de la matriz $M$ . Esto no tiene mucho sentido para mí. En una matriz de varianza-covarianza no estoy seguro de por qué querrías establecer cualquiera de las varianzas igual a cero.

Para ser explícito, mis preguntas son:

• ¿Se aplica el operador de umbralización a los elementos diagonales?
• Si sólo aplico el operador de umbralización a los elementos no diagonales, ¿resultará una mala estimación de la matriz de varianza-covarianza?

El contexto en el que surge mi problema es que estoy estimando un modelo probit con regresores endógenos a través del método generalizado de momentos siguiente Wilde (2008) . Tengo un gran número de regresores y algunos de ellos son variables indicadoras. Con algunas especificaciones del modelo, la matriz de varianza-covarianza es singular, lo que plantea un problema. Estoy abierto a cualquier solución, pero una solución que he leído es esta operación de umbralización.

Quiero mencionar que voy a agrupar la estimación de un modelo probit endógeno vía GMM en un paquete R. Apreciaría mucho cualquier ayuda para hacerlo robusto y útil para la comunidad estadística/econométrica.

Answer 1

En ese documento, restringen el análisis a los casos en los que $T_s(M)$ sigue siendo una matriz positiva-definida, lo que implica que $s$ debe ser menor que cualquier elemento diagonal de $M$ . Sin embargo, la condición $s<m_{ii}$ para todos $i$ no es suficiente para garantizar que $T_s(M)$ es positiva definida. Dado que una matriz de covarianza estimada que no es positiva definida no es muy útil, si usted está implementando esto en el software, es posible que desee informar de un error en tales situaciones.

Una pregunta es si es posible determinar si $T_s(M)$ será definida positiva implícitamente sin hacer el cálculo real. La condición dada en el documento que garantiza que $T_s(M)$ es positiva definida es $$||T_s(M)-M|| < \lambda_{\text{min}}(M),$$ donde $||\cdot||$ es la norma del operador (con respecto a $L_2$ ) y $\lambda_{\text{min}}(M)$ es el menor valor propio de $M$ .

También utilizan el límite $||M||\leq \text{max}_j \sum_i |m_{ij}|$ sobre matrices simétricas para deducir que si $$\text{max}_j\sum_i |m_{ij}|1(|m_{ij}<s|) <\lambda_\text{min}(M)$$ entonces $T_s(M)$ debe ser positiva definida, y analizan una clase de matrices en las que esto será así.

Por supuesto, seguir este camino requiere encontrar el menor valor propio de $M$ lo cual es más difícil que determinar directamente si $T_s(M)$ es positiva definida, por lo que puede no ser útil en su caso, a no ser que quiera probar un montón de valores de umbral diferentes para el mismo $M$ .