Mostrar a Lipschitz la continuidad de la solución ODE con respecto a la condición inicial

Question

Estoy trabajando en la ecuación diferencial de péndulo no lineal dada por

$$\theta '' = -g \sin \theta.$$

Deje que $t \geq 0$ ser arreglado, yo defino para $\theta_0 \in (- \frac\pi2 , \frac\pi2 )$ una cartografía $S$ por

$$S( \theta_0 ) = \theta (t; \theta_0 ),$$

donde $\theta (t; \theta_0 )$ es la solución del problema del valor inicial para el ODE definido anteriormente con condiciones iniciales $\theta '(0) = 0$ y $\theta (0) = \theta_0$ .

Creo que la cartografía $S$ es Lipschitz continuo, ¿pero es verdad? Si es así, ¿cómo podría probarlo?

Answer 1

Multiplicando su ecuación por $\theta'$ da $\theta'\theta''=-g\theta'\sin\theta$ o

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\theta'^2-g\cos\theta\right)=0\Rightarrow\frac{1}{2}\theta'^2-g\cos\theta=c$

$\theta' = \pm\sqrt{2(c+g\cos\theta)}$

Toda función que tiene una derivada acotada es continua de Lipshitz. Aquí sería donde empezaría la prueba. Obsérvese que la raíz cuadrada está acotada $\forall\,\theta$ .

Answer 2

Leyendo unos viejos apuntes de clase, parece que el derivado de $S$ es tantas veces continuamente diferenciable como la RHS del problema. (Lamentablemente no puedo enlazar nada aquí)

Al cambiar $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ a $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ , $S$ es ahora un $C^1$ en un intervalo compacto, por lo que es continua de Lipschitz.