Tarifa de alquiler mensual para obtener una ganancia dada en promedio, dadas las probabilidades de la cantidad de alquileres

Question

Tengo este problema aquí, y estoy muy seguro de cómo empezar esto. Tengo una idea pero no estoy seguro de dónde ir de un punto determinado. El problema dice: Una tienda de alquiler de videos es el análisis de una tarifa plana programa de alquiler es la planificación de la oferta y el programa permite a un suscriptor de alquiler hasta el $8$ películas al mes por una tarifa plana mensual. Cada uno de los costos de alquiler de la tienda de $1.25$ dólares en el procesamiento y el personal de honorarios. Deje $p_n$ la probabilidad de que un suscriptor alquileres $n$ películas en un mes. Tenemos las siguientes:

$1)$ $p_0=a$

$2)$ $p_n-p_{n+1}=c\gt 0$ donde $c$ es una constante para $n=0,1,...,7$

$3)$ La probabilidad de que un suscriptor de alquiler de menos de $3$ películas en un mes, es $0.55$

La tienda gustaría hacer una ganancia de $1$ dólar por alquiler en promedio. ¿Cómo debe ser la cuota mensual será para el programa para lograr este beneficio?

Mi primer instinto es encontrar el número esperado de alquiler por mes y se multiplica por $1.25$ a ver cómo sería el costo. A continuación, encontrará el costo esperado de este programa y cobrar un dólar más que eso. Pero no puedo pensar en cómo encontrar la probabilidad. Cualquier ayuda aquí?

Answer 1

A menos que me haya perdido algo hasta ahora, he aquí lo que tengo:

$p_0 = a$, $p_k = a - k c$ al $k \in \{1, 2,\ldots,7\}$. No tenemos información adicional sobre $p_8$. $p_k = 0 \; \forall \; k>8$.

La suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno:

$$\sum_{n=0}^{\infty} p_n = 1$$

Esto significa que

$$a + (a-c) + (a-2 c) + \ldots (a-7c) + p_8 = 8 a - 28 c + p_8 = 1 1$$

La otra condición mandatos que $p_0+p_1+p_2=0.55$. Esto implica que

$$3 a-3 c=0.55$$

Estamos obligados a encontrar el número esperado de $N$, el número de películas que se alquilan en un mes:

$$E[N] = \sum_{n=0}^{\infty} n \, p_n $$

Como están constituidas actualmente, el problema no proporciona información suficiente para determinar este valor esperado. Necesitamos saber algo acerca de $p_8$ a continuar.

EDITAR

La situación cambia si el caso $k=8$ es permitido en la 2ª condición anterior; es decir, $p_8=a-8 c$. Luego tenemos el sistema de ecuaciones:

$$\begin{align} & 9 a-36 c = 1 \\ & 3 a - 3 c = 0.55\\ \end{align}$$

de la que podemos deducir que el$a=\frac{37}{135}$$c=\frac{13}{540}$. El valor esperado de cálculo, a continuación, toma la forma

$$\begin{align} & E[N] = a \sum_{n=1}^{8} n - c \sum_{n=1}^{8} n^2 \\ & = a \frac{8 \cdot 9}{2} - c \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} \\ & = \frac{221}{45} \end{align}$$

Así, en 1.25 por alquiler, el costo estimado es alrededor de 6.14, y en un beneficio deseado de un dólar, se sugiere que la cuota sería entonces sobre 7.14 por mes.