¿En un espacio métrico, cada secuencia convergente limita?

Question

¿En $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^p$, esto es cierto, y es verdad en cada espacio métrico? Supongo que no, pero ¿qué otra condición tengo que poner en el espacio métrico en orden para que tenga esta propiedad?

Para mayor claridad, un subconjunto acotado $W$ de un espacio métrico $V,d$ es un subconjunto de $W$ con esta propiedad: $$\exists M\in\mathbb{R}_0^+,\forall v,w \in V:\ d(v,w)

Answer 1

Sí, es cierto que en cada espacio métrico. De hecho, una declaración más fuerte es verdad: cada secuencia de Cauchy es limitada. Que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia de Cauchy en un espacio métrico $\langle X,d\rangle$. Puesto que la secuencia es Cauchy, hay un $m\in\Bbb N$ tal que $d(xk,x\ell)

Añadido: En concreto, para todos los $k,\ell\in\Bbb N$ tenemos

$$d(xk,x\ell)\le d(x_k,x_m)+d(xm,x\ell)