Dado que el $f(x) = -1$ si $f$ es irracional y $f(x)=1$ si $f$ es racional, que $f$ no es continua en cualquier lugar.

Question

Dado que el $f(x) = -1$ si $f$ es irracional e $f(x)=1$ si $f$ es racional, muestran que $f$ no es continua en cualquier lugar.

1. Vamos a demostrar que entre 2 racionales siempre hay un número irracional

Consideremos $a,b \in Q$ tal que $a<b$, hay un número infinito de rational $r$ tal que $a<r<b$. Donde $r=\frac{a+b}{n}$ donde $n \in Z$

También $$a<r<b$$, $$ a +\sqrt{2}<r<b+\sqrt{2}$$ , $$a<r- \sqrt{2}<b$$

De ello se sigue que hemos de tener siempre una irracional entre dos racionales

2. Entre dos irrationals, siempre tenemos un racional.

Aquí no estoy seguro de cómo proceder.

3. Uno puede encontrar un racional entre dos irrationals y viceversa irracional entre dos racionales.

Por lo tanto, como el valor de $x$ se aproxima a un valor de la izquierda o la derecha de $r$ , $x$ se oscila entre lo racional y lo irracional infinitamente. Por lo tanto, los límites de oscilará entre el $1$ $-1$ infinitamente. esto muestra que $$f(r^-) \neq f(r^+) \neq f(r)$$

de ello se sigue que no hay continuidad en cualquier lugar de $D_f$

Es esto correcto? Es allí una manera más eficiente (limpia) para mostrar la discontinuidad?

El aporte se agradece mucho

Answer 1

Elija un número real $x$. Vamos a mostrar que el $f$ es discontinua en a $x$.

Lado Comentario: Discontinuidad de la $f$ $x$ puede ser demostrado mediante la exhibición de, al menos, una vez secuencia $y_{n}$ que converge a $x$, sin embargo, viola el requisito de $$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(y_{n}) = f(\; \lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} \;). $$ (Esencialmente, $f$ es continua en a $x$ si y sólo si $f$ viajes con el límite de operación de la convergencia a $x$.)

Ahora, la prueba:

Caso 1: $x$ es racional. Entonces existe una secuencia $y_{n}$ de los números irracionales que converge a $x$. Por lo tanto, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(y_{n}) = -1 \neq 1 = f(\; \lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} \;). $$

Caso 2: $x$ es irracional. Entonces existe una secuencia $y_{n}$ de los números racionales que converge a $x$. Por un argumento similar al que en el Caso 1, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(y_{n}) \neq f(\; \lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} \;). $$

Answer 2

Tomar un racional $x $ y el % de secuencia irracional $xn=x+\frac {\pi}{n}$tal que $$\lim{\infty}x_n=x$de % $ entonces

$$\lim_{\infty}f (x_n)=-1\ne f (x) $ $ por lo tanto, $f $ no es continua en $x $.

Tomar un irracional $y $ y la secuencia racional $yn=\frac {\lfloor 10^ny \rfloor}{10^n} $ tal que % $ $$\lim{\infty}y_n=y $y %#% $ de #% puede concluir.

Answer 3

La clave es exactamente el mismo que entre dos números reales hay un número racional y un número irracional.

Su argumento final es un poco vago. Usted puede hacer que sea riguroso, recordando que, cuando una función es continua y positiva en un punto, se asume que sólo los valores positivos en una vecindad del punto. Vamos a decirlo más precisamente.

Supongamos $f$ es continua en a $c\in\mathbb{Q}$; entonces existe $\delta>0$ tal que, para $|x-c|<\delta$, $f(x)>0$.

Existe $x$ irracional tal que $c-\delta<x<c+\delta$: contradicción.

Asimismo, para $c$ irracional.

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De manera más general, la función de $$ g(x)=\begin{cases} a & x\in\mathbb{Q} \\[4px] b & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{casos} $$ en ninguna parte se continua al $a\ne b$, debido a que $$ f(x)=\frac{2(g(x)-b)}{a-b}-1 $$