¿Cómo exactamente proyecto de un vector sobre un subespacio?

Question

Estoy tratando de entender cómo - exactamente - puedo ir sobre la proyección de un vector sobre un subespacio.

Ahora, sé lo suficiente acerca de álgebra lineal para saber acerca de las proyecciones, de punto productos, las luces, etc, etc, así que no estoy seguro de si estoy leyendo demasiado en esto, o si esto es algo que he perdido.

Para una clase que estoy tomando, la proff es decir que tomamos un vector, y "simplemente proyectamos a un subespacio', (en el que el subespacio formado a partir de un conjunto ortogonal de vectores de la base).

Ahora, yo sé que un subespacio es realmente, al final del día, sólo un conjunto de vectores. (Que satisfacen las propiedades de aquí). Me sale que la parte - que éste es el conjunto de vectores. Así que, ¿cómo "proyecto de un vector en este subespacio"?

Estoy proyectando mi un vector, (vamos a llamarlo un[n]) en TODOS los vectores en este subespacio? (¿Qué pasa si hay un número infinito de ellos?)

Para más contexto, el proff estaba diciendo que digamos, por ejemplo, encontramos un conjunto de vectores de la base de una señal, (vamos a llamarlos b[n] y c[n]) entonces sería de un proyecto[n] en su señal de subespacio. Proyectamos un[n] en la señal subespacio formado por b[n] y c[n]. Bien, ¿cómo se hace exactamente?..

Gracias de antemano, quisiera saber si me puede aclarar nada!

P. S. agradezco su ayuda, y realmente me gustaría por la aclaración a este problema a ser algo "concreto" - por ejemplo, algo que no se puede mostrar para mí más de MATLAB. Análogos de uso de 2-D o 3-D en el espacio, por lo que puedo visualizar lo que está pasando sería muy apreciado también.

Gracias de nuevo.

Answer 1

Voy a hablar de la proyección ortogonal aquí.

Cuando uno de los proyectos de un vector, decir $v$, sobre un subespacio, encontrar el vector del subespacio que es "lo más cercano" a $v$. El caso más simple es, por supuesto, si $v$ ya está en $v$, luego de la proyección de $v$ sobre el subespacio es $v$ sí.

Ahora, el tipo más simple de subespacios es un subespacio unidimensional, dicen que el subespacio es $U = \operatorname{span}(u)$. Dado un vector arbitrario $v$ no $U$, podemos proyectarlo en $U$ por $$v_{\| U} = \frac{\langle v , u \rangle}{\langle u , u \rangle} u$$ que va a ser un vector en $U$. Habrá más vectores de $v$ que tienen la misma proyección en $U$.

Ahora, supongamos $U = \operatorname{span}(u_1, u_2, \dots, u_k)$ y, ya te lo dijo en su pregunta, se supone que el $u_i$ son ortogonales. Para un vector $v$, se puede proyectar $v$ a $U$ por $$v_{\| U} = \sum_{i =1}^k \frac{\langle v, u_i\rangle}{\langle u_i, u_i \rangle} u_i = \frac{\langle v , u_1 \rangle}{\langle u_1 , u_1 \rangle} u_1 + \dots + \frac{\langle v , u_k \rangle}{\langle u_k , u_k \rangle} u_k.$$

Ahora, no sé si esto le ayuda a usted (no su espacio vectorial vienen equipados con un producto interior $\langle \cdot , \cdot \rangle$?).

Answer 2

Tomar una base $\{v_1, \dots, v_n\}$ para la señal "subespacio" $V$. Supongamos $V$ es finito dimensionales para la simplicidad y a efectos prácticos, pero se puede generalizar a dimensiones infinitas. Supongamos también que la base es ortonormales.

La proyección de la señal $f$ sobre el subespacio $V$ es sólo

$$\mathrm{proj}_V(f) = \sum_{i=1}^n \langle f, v_i \rangle v_i$$

y $f = \mathrm{proj}_V(f) + R(f)$ donde $R(f)$ es el resto, o complemento ortogonal, que será 0 si $f$ se encuentra en el subespacio $V$.

El $i$-ésimo término de la suma, $\langle f, v_i\rangle$, es la proyección de $f$ sobre el subespacio generado por la $i$-th base de vectores. (Nota, si $v_i$ son ortogonales, pero no necesariamente ortonormales, usted debe dividir el $i$-ésimo término por $\|v_i\|^2$.)