Cálculo de secuencias principales

Question

Deje que$\omega(k)$ sea la función omega principal, cuenta cuántos factores primos distintos tiene k.

La serie de dirichlet para$\omega(k)$ se puede escribir como,$$\sum_{k=1}^\infty\frac{\omega(k)}{k^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}*\sum_{p}\frac{1}{p^s}=\zeta(s)*P(s)$ $ Sé que no puedo volver a escribir$$\sum_{k=0}^\infty\frac{\omega(ak+b)}{(ak+b)^s}=\prod_{p\equiv\text{b mod a} }\frac{1}{1-p^{-s}}*\sum_{p\equiv\text{b mod a}}\frac{1}{p^s}$ $ ¿Pero puedo volver a escribirlo, como algo similar?

Answer 1

Deberías aprender sobre los personajes de Dirichlet. Hay$\phi(q)$ (completamente multiplicativo) caracteres de Dirichlet$\chi$ modulo$q$, y sumando todos ellos se obtiene la siguiente buena relación, para cualquier$a$ que sea relativamente primo para $q$: $$ \ frac1 {\ phi (q)} \ sum _ {\ chi \ pmod q} \ overline {\ chi (a)} \ chi (n) = \begin{cases}1, &\text{if } n\equiv a\pmod q, \\0, &\text{if } n\not\equiv a\pmod q. \end {cases} $ $ Por lo tanto (para$1\le a\le q$ y$(a,q)=1$) \begin{align*} \sum_{k=0}^\infty \frac{\omega(qk+a)}{(qk+a)^s} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\omega(n)}{n^s} \frac1{\phi(q)} \sum_{\chi\pmod q} \overline{\chi(a)} \chi(n) \\ &= \frac1{\phi(q)} \sum_{\chi\pmod q} \overline{\chi(a)} \sum_{n=1}^\infty \frac{\omega(n)\chi(n)}{n^s} \\ &= \frac1{\phi(q)} \sum_{\chi\pmod q} \overline{\chi(a)} \prod_p \frac1{1-\chi(p)p^{-s}} \sum_p \frac{\chi(p)}{p^s} \\ &= \frac1{\phi(q)} \sum_{\chi\pmod q} \overline{\chi(a)} L(s,\chi) \sum_p \frac{\chi(p)}{p^s}, \end {align *} donde$L(s,\chi)$ es una función Dirichlet$L$ -.

Answer 2

Definir una generalización de la función zeta prime, donde los primos se van sobre las clases de congruene: $$P{a,b}(s)=\sum{p\equiv b \text{ mod a}}\frac{1}{p^s}$ $ también definir el indicador función $$\delta{a,b}(k)=\text{1 if k mod a = b},\text{ 0 if k mod a}\ne b$ $ entonces para b > 0, $$\sum{k=0}^\infty\frac{\omega(ak+b)}{(ak+b)^s}=\frac{1}{a^s}\sum{j=1}^a\sum{k=1}^a\delta{a,b}(kj)P{a,k}(s)\zeta(s,\frac{j}{a})$ $ $\zeta(s,q)$ Dónde está la función de zeta de hurrwitz.

Esto parece muy sencillo,

No entiendo qué es lo que hizo con sus "caracteres de dirichlet"