Por favor, ayudar a recoger ejemplos de finito/infinito anillos satisfacer diferentes condiciones sobre unidades / cero divisores (añadido pregunta 4)

Question

0) Cada elemento distinto de cero de un número finito de anillo es un divisor de cero o de una unidad. Esto queda demostrado en Cada elemento distinto de cero en un número finito de anillo es una unidad o un divisor de cero

1) Si un anillo R satisface la condición de que "cada elemento distinto de cero es un divisor de cero o de una unidad", debe I ser finito? Si no, puede usted dar por favor al menos dos personas que no son isomorfos contraejemplos?

2) Si un anillo R satisface la condición de que "cada elemento distinto de cero es una unidad", R es finito o infinito? Si en ambos casos son posibles, por favor, puedes dar por lo menos dos no isomorfos ejemplos en ambos casos?

3) ¿existe finito/infinito anillos tal que "cada distinto de cero nonidentity elemento es un divisor de cero"? Si ambas respuestas son sí, puede usted dar por favor al menos dos personas que no son isomorfos ejemplos en ambos casos?

Edición: 4) Si un anillo R tiene un elemento que no es ni una unidad ni un divisor de cero, entonces R debe ser infinito. Ahora se R ser contables o incontables? ¿Puede por favor dar ejemplos (sobre todo si los dos casos son posibles)?\begin{align} \frac{e^{iz}}{z\,(z^2+1)^2} &=\frac{e^{iw-1}}{(w+i)\,(w^2+2iw)^2}\\ &=\frac{i}{4ew^2}\frac{e^{iw}}{(1-iw)(1-\frac{i}{2}w)^2}\\ &=\frac{i}{4ew^2}\frac{1+iw+\dots}{(1-iw)(1-iw+\dots)}\\ &=\frac{i}{4ew^2}(1+3iw+\dots) \end-(Ok, sé que $\mathbb{Z}$ es un ejemplo contables. No existen innumerables ejemplos?)

Enlaces relacionados son bienvenidos. Gracias en primer lugar por su ayuda!

P. S. soy auto-aprendizaje a nivel de licenciatura de matemáticas. Lo siento si la pregunta es trivial o estúpido.

Edit: Después de leer las respuestas, me parece que haciendo libros de texto de las alcabalas, todavía no es suficiente para ser competente en este tema. Tengo que aprender a pensar en las más diversas formas.

Answer 1

1) Esto es cierto para todos los campos, como $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y todos finito-dimensional álgebras sobre estos campos. Finito dimensionales álgebras cubre la matriz de los anillos, y mucho más.

2) Esta es exactamente la condición que define la división de los anillos, y el cero del anillo que no es un anillo de división. Una división de anillo con un conmutativa del producto que se llama un campo y me dio un montón de ejemplos de campos de arriba.

3) $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ etc. Creo que estos y el cero del anillo son la única finito anillos que cumplan esta condición.

Respuesta a editar

4) El anillo de polinomios sobre los números reales. También el anillo de función continua a partir de los números reales a los números reales, la función $x \rightarrow x$ no es una unidad y no un divisor de cero.

Answer 2

1/2) Cada campo tiene esta propiedad; como parte de la definición de un campo cada elemento no nulo es una unidad. $\mathbb{Q}[x]/(p_n(x))$ donde $p_n(x)$ es un polinomio irreducible de grado $n$ da una infinita no isomorfos de la familia. Como un ejemplo de un infinito anillo distinto de cero, donde los elementos son divisores de cero o unidades y donde se producen tome $n \times n$ matrices sobre algunos infinito campo ($\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ por ejemplo).*

3) retirar http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_ring. Estos tienen la propiedad de que todos los elementos de la $x$ son idempotente significado $x^2=x$. Pero, a continuación,$x(x-1)=0$, por lo que cada elemento además de la $1$ es un divisor de cero.

Answer 3

Los anillos $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$ (estos son también los campos) y $\mathbb{H}$ (los cuaterniones) son infinitos los ejemplos de 2).

1) y 3) se puede considerar que las subrings de $M(2,\mathbb{R})$ formado por las matrices de la forma: $$ D=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix} \qquad T=\begin{bmatrix}a&c\\0&b\end{bmatrix} \qquad U=\begin{bmatrix}0&c\\0&0\end{bmatrix} $$ Las matrices $D$ $T$ formar dos no isomorfos de los anillos, Las matrices $U$ es un anillo sin la unidad que no es isomorfo a $D$-ring y $T$-ring.

Se puede ver que las matrices de la forma $\begin{bmatrix}0&0\\0&b\end{bmatrix}$ son divisores de cero en $D$-ring y en el $T$-ring y usted puede fácilmente ver que hay invertible elementos en estos anillos.

El anillo de las matrices de $U$ no tiene invertible elementos, todos sus elementos son divisores de cero.

Finalmente, Usted puede construir similar exemples en $M(n;\mathbb{K})$ para cualquier campo $\mathbb{K}$, y todos no son isomorfos.