Cardinalidad de iteración de soporte contable adecuado obligar a

Question

Supongamos $\mathsf{CH}$ mantiene. Supongamos $\mathbb{P}$ es un obligando a tal que $\mathsf{ZFC} \models \mathbb{P} \text{ is proper and } |\mathbb{P}| = 2^{\aleph_0}$. Por ejemplo, Sacos de forzar es un ejemplo. También es importante destacar que a pesar de $\mathsf{CH}$ mantiene, $\mathsf{ZFC}$ demuestra que la cardinalidad de a $\mathbb{P}$ es siempre el continuum.

Ahora vamos a $\mathbb{P}_{\omega_1}$ el valor del $\omega_1$-longitud contables apoyo de la iteración de $\mathbb{P}$, que es la iteración sucesiva en cada etapa el nombre de la versión de $\mathbb{P}$ a partir de la etapa anterior. La pregunta es: ¿qué es, esencialmente, la cardinalidad de a $\mathbb{P}_{\omega_1}$? Es la cardinalidad de la iteración $\aleph_1$ en el sentido de que hay otro forzar el tamaño de la $\aleph_1$, lo que está obligando equivalente a $\mathbb{P}_{\omega_1}$?

En la definición de afirmar forzar, elementos de la iteración se define el uso de los nombres. Esto podría llegar a ser una clase adecuada. Uno de los trucos para lidiar con esto es tomar el nombre de un mínimo de clasificación en clases de nombres obligados a ser igual. Después de usar este truco, es que ya no me queda claro exactamente cómo de grande es la iteración. Incluso si es mayor que $\aleph_1$, podría todavía estar forzando equivalente a una fuerza de tamaño $\aleph_1$?

Answer 1

Usted puede asumir que todos los elementos de a $P$ son hereditariamente contables. Ahora vamos a $P'_\alpha$ ser el conjunto de todos los hereditariamente contables condiciones en $P_\alpha$. Demostrar por inducción que $P'_\alpha$ es denso en $P_\alpha$, para todos los $\alpha\le \omega_1$.

Esto es trivial si utiliza finito de apoyo iteración de la ccc forzar. Pero sigue siendo cierto para la correcta CS iteraciones, porque a pesar de que hay nombres que no son hereditariamente contables, se puede traducir a "buen nombre", utilizando antichains. Ahora estos antichains pueden ser innumerables, pero (modulo un $N$-condición genérica) que sólo se preocupan por su intersección con $N$.