¿Necesitas el axioma de elección para aceptar la prueba diagonal de Cantor?

Question

Gente de matemáticas:

Tengo entendido que los teóricos/lógicos de conjuntos comparan cardinalidades de conjuntos utilizando inyecciones en lugar de suryecciones. Wikipedia define los conjuntos contables en términos de inyecciones. La prueba diagonal de Cantor de que los números reales son incontables consiste en demostrar que no hay ninguna suryección de $\mathbb{N}$ a $(0,1)$ . Entonces, ¿necesito el axioma de elección para aceptar la prueba diagonal de Cantor?

He navegado por Preguntas Similares y no he encontrado respuesta. Pido disculpas si esto es un duplicado.

StEFAN (Stack Exchange FAN)

Answer 1

No. No necesitas elección para esto.

Por dos razones:

1. Si hay una inyección desde un conjunto no vacío $A$ en $B$ entonces existe una suryección desde $B$ en $A$ . Esto no requiere el axioma de elección, aunque la implicación inversa (que un suryecto tiene un inverso inyectivo) es de hecho equivalente al axioma de elección.

   Para añadir algo más, $\mathbb N$ está bien ordenada sin el axioma de elección, por lo que si existe una suryección desde $\mathbb N$ en un conjunto $A$ entonces hay una inyección de $A$ en $\mathbb N$ también.

2. El axioma de elección se utiliza cuando se quiere demostrar la existencia de algo. En la prueba diagonal asuma que se le da una cierta lista, y se define de esa lista una nueva función que no está en la lista. Este proceso no requiere el axioma de elección.