Enlace relacionado: Derecho a la identidad y a la Derecha inversa implica un grupo de
Referencia: Fraleigh p. 49 Pregunta 4.38 en Un Primer Curso de Álgebra Abstracta
Voy a presentar mi prueba (distintos de los que en el enlace) para la crítica y, a continuación, pedir a mi pregunta. $G$ es un conjunto y $ \times $ es una operación binaria asociativa. Supongamos que existe un $e \in G$ tal que, para todos los $a \in G$, $ea = a$ y $a^{-1}a = e$ algunos $a^{-1} \in G$. Demostrar que para la misma $e$, $ae = a$ y $aa^{-1} = e$.
$a^{-1}(aa^{-1})a = (a^{-1}a)(a^{-1}a) = ee = e = a^{-1}a = a^{-1}(a^{-1}a)a$
Desde $a^{-1} \in G$, tiene una izquierda inversa; se aplican tanto a los extremos, y tenemos $(aa^{-1})a = (a^{-1}a)a$.
Como resultado, $ae$ = $a(a^{-1}a) = (aa^{-1})a = (a^{-1}a)a = ea$.
Por el derecho a la inversa, comienzan con $aa^{-1} = a(a^{-1}a)a^{-1} = (aa^{-1})(aa^{-1})$.
Desde $\times$ es una operación binaria, $aa^{-1} \in G$ y ha dejado inversa; se aplican tanto a los extremos, y tenemos $e = aa^{-1}$.
En segundo comentario que sigue a la pregunta en el enlace, el Señor Derek Holt señaló que el solicitante no la palabra su pregunta correctamente. Específicamente, la identidad en el segundo axioma no está bien definida.
Deje $(G, *)$ ser un semi-grupo. Supongamos que
1. $ \exists e \in G$ tal que $\forall a \in G,\ ae = a$;
2. $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ tal que $aa^{-1} = e$.
¿Cómo podemos demostrar que $(G,*)$ es un grupo?
Esta formulación hace el mismo error técnico, como muchos libros de texto. El $e$ en su segundo axioma no está bien definida. "Pero, obviamente, no es la intención de ser el mismo $e$ como en el primer axioma" de responder. Pero el primer axioma no necesariamente especificar un único elemento $e$. Así que debemos interpretar el segundo axioma con el significado de "para algunos $e$ como en 1" o "para todos los $e$ como en 1"? – Derek Holt Sep 17 '11 a las 15:31
Él estaba diciendo que si, en el axioma 1, tenemos $ae_1 = a, ae_2 = a$, pero $e_1 \neq e_2$,
cuando llegamos al axioma 2, tenemos $aa^{-1} = e_1, aa^{-1} = e_2$, o dos diferentes inversas, de modo que $aa_1^{-1} = e_1, aa^{-1}_2 = e_2$? Creo que mi redacción elimina la ambigüedad. Esto no implica que $e$ es único, pero si $e$ está a la izquierda de la identidad y produce izquierda inversas, entonces también es un derecho de identidad y genera derecho a la recíproca. Me trató muy duro en esto; por favor señalar mis errores.
