Un anillo en el que las dos operaciones son iguales es {0}

Question

Sea R un anillo en el que las dos operaciones son iguales, es decir, $ a + b = ab \mbox{ }\forall a,b \in R $. Demostrar que $R = {0 }$.

He intentado demostrar que $R \subset {0 } $ y $ {0 } \subset R $. La segunda inclusión, tenemos $ 0 + 0 = 0 = 0 \cdot 0 $. Así ${0 } \subset R $. Sin embargo, no puedo encontrar una manera de mostrar que $R \subset {0 } $.

¿Algún consejo?

Answer 1

Para cualquier

Answer 2

Aunque la pregunta ya ha sido contestada con bastante precisión, me gustaría detalle el típico razonamiento usado en este caso.

Lo que quiero demostrar es que el $R \subset \{0 \} $.

Lo que usted debe hacer, es tratar de demostrar que todo elemento de a $R$ es también un elemento de $\{0\}$.

Como escribió User1006, la manera de lograr esto es:

Deje $x\in R.$ $$\begin{align}x+0 &= x\cdot0 \\ x\cdot0 &= 0~~~~~\textrm{ by definition of ring}\end{align}$$ (Esta línea no es trivial) $$\begin{align}\therefore ~~x+0 &= 0\\ x&= 0\,.\end{align}$$

$x$ es cualquier elemento de $R.$

Por lo tanto, $\forall x \in R, x \in \{0\}.$

$$\therefore~~ R \subset \{0\}.$$

Esto es básicamente lo que User1006 escribió, pero cada vez que te encuentras con una pregunta, esta es la formalidad que debe tener en mente.