Probar que ' s un subespacio de $\mathbb{R}^3$

Question

Tengo la siguiente definición de $V_a$:

$$V_a := \{(x, y, z)^T \in \mathbb{R}^3 : y = 3x - az\}, \quad \text{for $\in \mathbb{R}$}.$$

Mi primer problema: no entiendo esta definición. Cual es el papel de la $a$ jugar en esta fórmula? Cómo hacer que los vectores? ¿Por qué sólo hay $y$, lo que acerca de $x$$z$?

Segundo problema (que no es de extrañar teniendo en cuenta la primera): ¿Cómo puedo encontrar una base de $V_a$ todos los $a \in \mathbb{R}$

Y una más: ¿Cómo puedo demostrar que $V_a$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$?

Por favor, me ayudan a entender y a resolver estos problemas.

Answer 1

Por cada $a \in \mathbb{R}$ tomar, te dan un % diferente $V_a$. Por ejemplo,

$$V_0 = { (x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3 \colon x,y,z \in \mathbb{R}, \ y = 3x } = { (x,3x,z)^T \colon x,z \in \mathbb{R} }.$$

% General $a$, tiene

$$V_a = { (x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3 \colon x,y,z \in \mathbb{R}, \ y = 3x-az } = { (x,3x-az,z)^T \colon x,z \in \mathbb{R} }.$$

Tenga en cuenta que

$$(x,3x-az,z)^T = x(1,3,0)^T + z(0,-a,1)^T$$

% de todos $x,z \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, el conjunto de ${(1,3,0)^T, (0,-a,1)^T}$ abarca $V_a$ cada $a \in \mathbb{R}$. Para probar que es base, es necesario demostrar que estos dos vectores son linealmente independientes.

Voy a dejar tomar ahora. No dude en preguntar si te quedas atascado.

Answer 2

En primer lugar, $a\in \mathbb{R}$ es sólo una constante fija. Quiere mostrar que $V_a$ es un subespacio de todos los $a$.

Segundo, no es que $y$ es dado, ninguno de $x,y,z$ es "dado". Usted dice que $V_a$ es el conjunto de todos los $(x,y,z)$ que satisfacer $y=3x-az=0$, es decir, todos los puntos de $(x,y,z)$, que se ubican en el plano dado por $3x-y-az=0$. Es decir, $V_a$ es el plano descrito por $3x-y-az=0$.

Ahora, ¿qué sabe usted acerca de los aviones? Son subespacios iff contienen el origen. Es fácil ver que $30-0-a0=0$ hecho $V_a$ es un subespacio.

Finalmente, para encontrar una base para $V_a$ todo lo que necesita es que cualquiera de los dos no paralelos prueban vectores en el plano. Trate de encontrar dos vectores buscando dos de la forma $(0,1,z_1)$ $(1,0,z_2)$ que se encuentran en el avión. Cualquiera de los dos vectores no paralelos prueban funcionará, pero estos parecen las opciones obvias. (Si $a=0$ pero ten cuidado, tal vez otras opciones sería la mejor opción).