La expansión de Laurent de $\frac{e^{iz}}{z\,(z^2+1)^2}$ en $z=i$ .

Question

Me gustaría encontrar el residuo de $$f(z)=\frac{e^{iz}}{z\,(z^2+1)^2}$$ en $z=i$ . Una forma de hacerlo es simplemente tomar la derivada de $\frac{e^{iz}}{z\,(z^2+1)^2}$ . Otra es encontrar la expansión de Laurent de la función.

He conseguido hacerlo de la primera manera, y la respuesta es $-3/(4e)$ . Sin embargo, me he quedado sin ideas sobre cómo encontrar la expansión.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$$e^{iz} = e^{i(z-i) + i^2} = \dfrac{e^{i(z-i)}}{e} = \dfrac1e \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{i^k(z-i)^k}{k!}$$ $$\dfrac1z = \dfrac1{z-i+i} = \dfrac1i \dfrac1{1 + \dfrac{z-i}i} = \dfrac1i \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\left(\dfrac{z-i}i \right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} i^{k-1} (z-i)^k$$ $$\dfrac1{(z+i)^2} = \dfrac1{(z-i+2i)^2} = -\dfrac14 \dfrac1{\left(1 + \dfrac{z-i}{2i} \right)^2} = -\dfrac14 \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) \left(\dfrac{z-i}{2i}\right)^k\\ = -\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{i^k (k+1)}{2^{k+2}} \left(z-i\right)^k$$ Por lo tanto, tenemos $$\dfrac1{(z-i)^2} \left(\dfrac1e \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{i^k(z-i)^k}{k!}\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} i^{k-1} (z-i)^k \right) \left(-\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{i^k (k+1)}{2^{k+2}} \left(z-i\right)^k\right)$$ Por lo tanto, el coeficiente de $\dfrac1{z-i}$ no es más que el coeficiente de $(z-i)$ en $$\left(\dfrac1e \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{i^k(z-i)^k}{k!}\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} i^{k-1} (z-i)^k \right) \left(-\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{i^k (k+1)}{2^{k+2}} \left(z-i\right)^k\right)$$ Por lo tanto, la respuesta es $$- \dfrac1e \times \left(\dfrac{i}{1!} \times \dfrac1i \times \dfrac14 + 1 \times 1 \times \dfrac14 + 1 \times \dfrac1i \times \dfrac{2i}{8} \right) = -\dfrac3{4e}$$

Answer 2

Utiliza la fórmula del primer término de la serie de Laurent: $$a_{-1}=\frac{1}{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left((z-z_0)^mf(z)\right)$$ Donde m es el orden del polo. Se puede llegar a esta fórmula tomando la expansión de Taylor de la función $f(z)(z-z_0)^m$ ya que es holomorfa, y haciendo la expansión de Laurent sin encontrar los coeficientes.

En tu problema el polo tiene orden dos por lo que la fórmula es: $$a_{-1}=\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{iz}}{z(z+i)^2}\right)=-\frac{3}{4e}$$

Answer 3

Sustituir $z=w+i$ para conseguir $$ \begin{align} \frac{e^{iz}}{z\,(z^2+1)^2} &=\frac{e^{iw-1}}{(w+i)\,(w^2+2iw)^2}\\ &=\frac{i}{4ew^2}\frac{e^{iw}}{(1-iw)(1-\frac{i}{2}w)^2}\\ &=\frac{i}{4ew^2}\frac{1+iw+\dots}{(1-iw)(1-iw+\dots)}\\ &=\frac{i}{4ew^2}(1+3iw+\dots) \end{align} $$ Así, el residuo es el coeficiente de $\dfrac1w$ que es $\ -\dfrac3{4e}$ .